Examkin

Question

Difficulty: Very hardBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
F(x)=∫x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2 dxF(x) = \int \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx
eşitliği veriliyor.
f(1)=2f(1) = 2, F(1)=4F(1) = 4 ve f(3)=6f(3) = 6 olduğuna göre, F(3)F(3) değeri kaçtır?
  1. A
    32\frac{3}{2}
  2. B
    83\frac{8}{3}
  3. 33Answer
  4. D
    55
  5. E
    −32-\frac{3}{2}

Answer

Doğru cevap 33 olarak bulunur.
İntegrali alınacak ifade, bölümün türevi kuralına göre −x2f(x)-\frac{x^2}{f(x)} fonksiyonunun türevidir. Bu sayede belirsiz integral F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C şeklinde elde edilir. Verilen başlangıç değerleri kullanılarak integral sabiti C=92C = \frac{9}{2} olarak bulunur. Sonrasında x=3x=3 yazılarak doğru sonuca (33) ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İntegrali alınacak ifadenin yapısını inceleme
İntegral içindeki x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2\frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} ifadesinin, bölümün türevi kuralı olan (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} formülü ile ilişkili olduğu görülür.
Karmaşık görünümlü integrallerde ifadenin hangi bilinen fonksiyonun türevi veya diferansiyeli olduğunu bulmak temel yöntemdir.
2
Bölüm türevi kuralını uygulama
d(−x2f(x))=x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2 dxd\left(-\frac{x^2}{f(x)}\right) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2} \, dx olduğu doğrulanır.
x2f(x)\frac{x^2}{f(x)} ifadesinin türevi alındığında pay kısmında 2x⋅f(x)−x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) - x^2 \cdot f'(x) oluşur. Verilen integral bunun tam eksilisidir. Bu yüzden −x2f(x)-\frac{x^2}{f(x)} ifadesi kullanılır.
3
İntegrali hesaplama ve integral sabitini (CC) bulma
F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C olur. x=1x=1 yazılarak F(1)=−1f(1)+C  ⟹  4=−12+C  ⟹  C=92F(1) = -\frac{1}{f(1)} + C \implies 4 = -\frac{1}{2} + C \implies C = \frac{9}{2} bulunur.
Belirsiz integral hesaplandıktan sonra ortaya çıkan integral sabitini (CC) bulabilmek için fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri kullanılır.
4
F(3)F(3) değerini hesaplama
F(3)=−32f(3)+92=−96+92=−32+92=3F(3) = -\frac{3^2}{f(3)} + \frac{9}{2} = -\frac{9}{6} + \frac{9}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = 3 elde edilir.
Elde edilen genel F(x)F(x) fonksiyonunda istenen x=3x=3 değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bölümün türevi kuralı yardımıyla belirsiz integral alma ve integral sabiti hesabı

Alternative Method

Türevin tanımı kullanılarak eşitliğin her iki tarafının türevi alınabilir: F′(x)=x2⋅f′(x)−2x⋅f(x)[f(x)]2F'(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x) - 2x \cdot f(x)}{[f(x)]^2}. Bu ifadenin F(x)=−x2f(x)+CF(x) = -\frac{x^2}{f(x)} + C biçiminde bir fonksiyonun türevi olduğu görülerek aynı sonuca ulaşılır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

More questions from this topic