Examkin

Question

Difficulty: Very hardBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde iki kez türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
g(x)=∫(x3⋅f′′(x)+6x2⋅f′(x)+6x⋅f(x))dxg(x) = \int \left(x^3 \cdot f''(x) + 6x^2 \cdot f'(x) + 6x \cdot f(x)\right) dx
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f′(1)=−1g(1)=82⋅f′(2)+3⋅f(2)=9\begin{aligned} f(1) &= 2 \\ f'(1) &= -1 \\ g(1) &= 8 \\ 2 \cdot f'(2) + 3 \cdot f(2) &= 9 \end{aligned}

olduğuna göre, g(2)g(2) değeri kaçtır?

  1. A
    33
  2. B
    36
  3. C
    37
  4. 39Answer
  5. E
    12

Answer

İntegral işlemleri ve verilen sınır koşulları doğru uygulandı��ında sonuç otuz dokuz olarak bulunur.
İntegral altındaki ifadenin, x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x)x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevi olduğu fark edilir. İntegral alındığında elde edilen fonksiyona sabit sayı eklenir. Verilen başlangıç koşullarıyla sabit sayı üç olarak bulunur. İkinci noktadaki fonksiyon değeri hesaplanırken katsayı ilişkisi düzenlenerek otuz dokuz sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İntegralin içerisindeki ifadeyi çarpım türevi kuralına göre analiz etme.
d(x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x))=(x3⋅f′′(x)+6x2⋅f′(x)+6x⋅f(x))dxd(x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x)) = (x^3 \cdot f''(x) + 6x^2 \cdot f'(x) + 6x \cdot f(x)) dx olduğu görülür.
İntegrali alınacak karmaşık ifadenin temel türev kuralları cinsinden eşiti belirlenmelidir.
2
Belirsiz integrali hesaplama ve integral sabitini ekleme.
g(x)=x3⋅f′(x)+3x2⋅f(x)+Cg(x) = x^3 \cdot f'(x) + 3x^2 \cdot f(x) + C elde edilir.
Türevi bilinen ifadenin belirsiz integrali, integral sabiti eklenerek yazılır.
3
x=1x = 1 için verilen değerleri kullanarak integral sabiti CC'yi bulma.
8=13⋅(−1)+3⋅12⋅2+C  ⟹  8=5+C  ⟹  C=38 = 1^3 \cdot (-1) + 3 \cdot 1^2 \cdot 2 + C \implies 8 = 5 + C \implies C = 3 bulunur.
Fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri sayesinde belirsiz integraldeki sabit sayı hesaplanır.
4
x=2x = 2 noktasındaki değeri verilen bağıntı cinsinden düzenleme ve hesaplama.
g(2)=8⋅f′(2)+12⋅f(2)+3=4(2⋅f′(2)+3⋅f(2))+3g(2) = 8 \cdot f'(2) + 12 \cdot f(2) + 3 = 4(2 \cdot f'(2) + 3 \cdot f(2)) + 3 şeklinde yazılır. Buradan g(2)=4⋅9+3=39g(2) = 4 \cdot 9 + 3 = 39 elde edilir.
Ortak çarpan parantezi kullanılarak bilinmeyen ifadeler verilen eşitliğe benzetilir ve sonuç hesaplanır.

Key Concept

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve çarpım kuralının tersten uygulanması.
Rate this question

Topics

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

More questions from this topic