Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi f' ol… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'

olmak üzere, her

x \neq 1

gerçel sayısı için

f'(x) = \frac{3x^3 - 3x^2 + 2x - 2}{x - 1}

eşitliği verilmiştir.

f(2) = 10

olduğuna göre,

f(1)

değeri kaçtır?

Verilen rasyonel türev ifadesi sadeleştirildiğinde

f'(x) = 3x^2 + 2

elde edilir. Bu ifadenin integrali alındığında

f(x) = x^3 + 2x + C

olur.

f(2) = 10

sınır koşulu kullanılarak

C = -2

bulunur. Dolayısıyla

f(x) = x^3 + 2x - 2

fonksiyonunda

x=1

yazıldığında sonuç 1 olur.

Türev ifadesini sadeleştirme

f'(x) = 3x^2 + 2

(

x \neq 1

için)

Rasyonel ifadenin payını

3x^2(x - 1) + 2(x - 1)

şeklinde gruplandırarak paydadaki

x - 1

terimi ile sadeleştiririz.

Belirsiz integral alarak f(x) fonksiyonunu bulma

f(x) = x^3 + 2x + C

Polinom fonksiyonların integral alma kuralı (

x^n

için

\frac{x^{n+1}}{n+1}

) uygulanır ve belirsiz integral sabiti olan

C

eklenir.

Sınır koşulunu kullanarak C integral sabitini hesaplama

C = -2

f(2) = 10

bilgisi fonksiyonda yerine yazılır:

2^3 + 2(2) + C = 10 \implies 12 + C = 10

eşitliğinden

C = -2

elde edilir.

f(1) değerini hesaplama

f(1) = 1

Bulunan

f(x) = x^3 + 2x - 2

fonksiyonunda

x = 1

yazılarak sonuca ulaşılır.

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral kuralları ve başlangıç değer koşulu yardımıyla kendisinin bulunması

Question