Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(x) dx=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8
∫13x⋅f(4−x) dx=10\int_{1}^{3} x \cdot f(4-x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13x⋅f(x) dx\int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    6
  2. B
    10
  3. C
    14
  4. 22Answer
  5. E
    42

Answer

İstenen belirli integralin değeri 22'dir.
İkinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesi yapıldığında dx=−dudx = -du olur. Sınırlar x=1x=1 için u=3u=3 ve x=3x=3 için u=1u=1 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫31(4−u)f(u)(−du)=∫13(4−u)f(u)du\int_{3}^{1} (4-u)f(u)(-du) = \int_{1}^{3} (4-u)f(u)du şekline dönüşür. İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak bu ifade 4∫13f(x)dx−∫13xf(x)dx=104\int_{1}^{3} f(x)dx - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 10 olarak yazılır. ∫13f(x)dx=8\int_{1}^{3} f(x)dx = 8 değeri yerine yazıldığında 32−∫13xf(x)dx=1032 - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 10 denklemin çözülmesiyle aranan integralin değeri 22 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İkinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesi yapılır.
dx=−dudx = -du elde edilir.
İntegralin içindeki f(4−x)f(4-x) ifadesini f(u)f(u) cinsinden yazarak bilinen integral sınırları ve de��erleriyle ilişkilendirmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=4−1=3x = 1 \implies u = 4 - 1 = 3 ve üst sınır için x=3  ⟹  u=4−3=1x = 3 \implies u = 4 - 3 = 1 olur.
Değişken değiştirme uygulandığında belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni sınırlar ve dx=−dudx = -du ifadesi integralde yerine yazılarak integral yeniden düzenlenir.
∫13x⋅f(4−x) dx=∫31(4−u)⋅f(u)⋅(−du)=∫13(4−u)⋅f(u) du\int_{1}^{3} x \cdot f(4-x) \, dx = \int_{3}^{1} (4-u) \cdot f(u) \cdot (-du) = \int_{1}^{3} (4-u) \cdot f(u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarının yer değiştirmesi durumunda integralin işaretinin tersine dönmesi (∫31=−∫13\int_3^1 = -\int_1^3) özelliği ile dx=−dudx = -du ifadesindeki eksi işareti birbirini sadeleştirir.
4
Elde edilen integral, lineerlik özelliği kullanılarak iki ayrı integralin farkı şeklinde yazılır.
∫13(4−u)⋅f(u) du=4∫13f(u) du−∫13u⋅f(u) du\int_{1}^{3} (4-u) \cdot f(u) \, du = 4 \int_{1}^{3} f(u) \, du - \int_{1}^{3} u \cdot f(u) \, du
Belirli integralin toplama ve çıkarma işlemleri üzerindeki dağılma ve sabit katsayıyı dışarı çıkarma özellikleri uygulanır.
5
İntegral değişkeninin adının değişmesi değeri etkilemediğinden uu yerine tekrar xx yazılır ve bilinen değerler yerine konarak istenen integral yalnız bırakılır.
4∫13f(x) dx−∫13x⋅f(x) dx=104 \int_{1}^{3} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10
4⋅8−∫13x⋅f(x) dx=10  ⟹  32−∫13x⋅f(x) dx=10  ⟹  ∫13x⋅f(x) dx=224 \cdot 8 - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10 \implies 32 - \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{3} x \cdot f(x) \, dx = 22
Belirli integralde integral değişkeninin sembolü (örneğin uu veya xx) integralin değerini değiştirmez.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi, integral sınırlarının güncellenmesi ve integralin lineerlik özellikleri.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic