Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8 \int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{5} f(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8

\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin doğru değeri 3'tür.

İntegral doğrusallık özelliği kullanılarak iki parçaya ayrılır. Her bir parçada ayrı ayrı değişken değiştirme uygulanır. Birinci terimde

u = 2x-3

dönüşümüyle sınırlar

1

5

olur; diferansiyel katsayısı

\frac{1}{2}

gelir. İkinci terimde

v = 2x-1

dönüşümüyle sınırlar

3

7

olur; diferansiyel katsayısı

\frac{1}{2}

gelir. Verilen integral değerleri yerine yazıldığında sonuç

12 - 9 = 3

olarak hesaplanır.

İntegrali doğrusallık özelliğini kullanarak iki ayrı integral olarak yazalım.

\int_{2}^{4} \Big( 3f(2x-3) - f(2x-1) \Big) \, dx = 3 \int_{2}^{4} f(2x-3) \, dx - \int_{2}^{4} f(2x-1) \, dx

İntegral içindeki çıkarma ve sabit kat sayıları dışarı çıkarma özelliklerini uygulamak işlemleri kolaylaştırır.

Birinci integral olan

\int_{2}^{4} f(2x-3) \, dx

ifadesinde

u = 2x-3

dönüşümü yapalım.

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar ise

x=2 \implies u=2(2)-3=1

x=4 \implies u=2(4)-3=5

olarak güncellenir. Böylece integral

\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du

haline gelir.

İntegral sınırlarını yeni değişken cinsinden güncellemek belirli integralde değişken değiştirmenin temel kuralıdır.

İkinci integral olan

\int_{2}^{4} f(2x-1) \, dx

ifadesinde

v = 2x-1

dönüşümü yapalım.

dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2}

olur. Sınırlar ise

x=2 \implies v=2(2)-1=3

x=4 \implies v=2(4)-1=7

olarak güncellenir. Böylece integral

\frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv

haline gelir.

Bu terim için de sınırları yeni değişken

v

cinsinden güncelleriz.

Elde edilen yeni integrallerde verilen değerleri yerine yazarak sonucu hesaplayalım.

3 \cdot \left( \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du \right) - \left( \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv \right) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 8 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 18 \right) = 12 - 9 = 3

bulunur.

Verilen

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 8

\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18

değerlerini yerleştirmek nihai sonuca ulaştırır.

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Doğrusallık