(\sqrt{2}, \infty) aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$(\sqrt{2}, \infty)$ aralığında tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için

f(x) = \int \frac{x^5 - x^3 - 2x}{x^2 - 2} \, dx

ve $f(2) = 7$ eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, $f(4)$ değeri kaçtır?

Rasyonel ifadenin pay kısmı çarpanlarına ayrılıp payda ile sadeleştirildiğinde integrand

x^3 + x

olarak bulunur. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında

f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C

kuralı elde edilir.

f(2) = 7

koşulu yerine yazılarak integral sabiti

C = 1

olarak hesaplanır. Fonksiyonda

x = 4

yazıldığında ise doğru değer olan 73 bulunur.

İntegral içerisindeki rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.

\frac{x^5 - x^3 - 2x}{x^2 - 2} = \frac{x(x^4 - x^2 - 2)}{x^2 - 2} = \frac{x(x^2 - 2)(x^2 + 1)}{x^2 - 2} = x(x^2 + 1) = x^3 + x

İntegral alma kurallarını doğrudan uygulayabilmek için rasyonel ifadeyi polinom biçimine getirmek gerekir.

Elde edilen ifadenin belirsiz integralini integral alma kurallarını kullanarak hesaplayın.

f(x) = \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C

Belirsiz integral kuralları gereği her terimin derecesi 1 artırılır, yeni dereceye bölünür ve ifadeye bir integral sabiti eklenir.

Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan sabiti hesaplayın.

f(2) = \frac{2^4}{4} + \frac{2^2}{2} + C = 7 \implies 4 + 2 + C = 7 \implies C = 1

Fonksiyonun tek bir kuralını belirlemek amacıyla verilen nokta yardımıyla integral sabiti bulunur.

Elde edilen fonksiyon kuralında istenen değeri yerine yazarak hesaplayın.

f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 1 \implies f(4) = \frac{4^4}{4} + \frac{4^2}{2} + 1 = 64 + 8 + 1 = 73

Fonksiyonun kuralı tam olarak bilindiğinden

x

yerine 4 yazılarak hedef sonuca ulaşılır.

Belirsiz integral alma kuralları, rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.

Question