Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−12f(x) dx=10\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 10
olduğuna göre,
∫01(6x⋅f(x2−1)+6f(2x)) dx\int_{0}^{1} \left( 6x \cdot f(x^2 - 1) + 6f(2x) \right) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Answer: 30

Answer

İntegralin değeri 30'dur.
Verilen integral iki parçaya ayrılıp u=x2−1u = x^2 - 1 ve v=2xv = 2x değişken değiştirmeleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] olur. Bu iki integralin toplamı, belirli integralin aralık birleştirme kuralına göre [−1,2][-1, 2] aralığındaki integralin 3 katına eşit olur. Dolayısıyla doğru yanıt 3⋅10=303 \cdot 10 = 30 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İntegrali iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazalım.
∫016x⋅f(x2−1) dx+∫016f(2x) dx\int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx + \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx
Her iki terim i��in farklı değişken değiştirme yöntemleri uygulanacaktır.
2
Birinci integral olan I1=∫016x⋅f(x2−1) dxI_1 = \int_{0}^{1} 6x \cdot f(x^2 - 1) \, dx için u=x2−1u = x^2 - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
I1=3∫−10f(u) duI_1 = 3 \int_{-1}^{0} f(u) \, du
u=x2−1u = x^2 - 1 ise du=2x dxdu = 2x \, dx olur. Buradan 6x dx=3 du6x \, dx = 3 \, du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için u=−1u = -1 ve x=1x = 1 için u=0u = 0 olarak güncellenir.
3
İkinci integral olan I2=∫016f(2x) dxI_2 = \int_{0}^{1} 6f(2x) \, dx için v=2xv = 2x değişken değiştirmesini uygulayalım.
I2=3∫02f(v) dvI_2 = 3 \int_{0}^{2} f(v) \, dv
v=2xv = 2x ise dv=2 dxdv = 2 \, dx olur. Buradan 6 dx=3 dv6 \, dx = 3 \, dv elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x = 0 için v=0v = 0 ve x=1x = 1 için v=2v = 2 olarak güncellenir.
4
Elde edilen I1I_1 ve I2I_2 integrallerini toplayarak ortak katsayı parantezine alalım ve integral aralıklarını birleştirelim.
I1+I2=3(∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx)=3∫−12f(x) dx=3⋅10=30I_1 + I_2 = 3 \left( \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right) = 3 \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 3 \cdot 10 = 30
Belirli integralin sınırları [−1,0][-1, 0] ve [0,2][0, 2] birbirini tamamladığı için aralık bölme özelliği gereğince ∫−10f(x) dx+∫02f(x) dx=∫−12f(x) dx\int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{-1}^{2} f(x) \, dx olur.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve integral aralıklarının parçalanması/birleştirilmesi özellikleri
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic