x bir gerçel sayı olmak üzere, \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)\neşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 6'dır.

x bir gerçel sayı olmak üzere, \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı

6

'dır.

Answer: Answer

Answer

Verilen önerme doğrudur.

Doğru çözüm adımları uygulandığında, logaritmanın tanım kümesi olan

(-4, 0) \cup (2, \infty)

ile yön değiştirilerek çözülen

[-1, 4]

aralığının kesişimi

[-1, 0) \cup (2, 4]

olur. Bu kümedeki tam sayılar

\{-1, 3, 4\}

olup toplamları gerçekten

6

'dır. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Step-by-Step Solution

Logaritma fonksiyonlarının tanıml�� olması için gerekli koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.

x^2 - 2x > 0 \implies x(x-2) > 0 \implies x < 0

veya

x > 2

x + 4 > 0 \implies x > -4

Ortak tanım kümesi:

D = (-4, 0) \cup (2, \infty)

olur.

Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif gerçel sayılar olması gerekir.

Logaritma tabanı incelenerek cebirsel eşitsizlik çözülür.

Taban

\frac{1}{2}

(

0 < \frac{1}{2} < 1

) olduğundan azalanlık özelliği gereği eşitsizlik yön değiştirir:

x^2 - 2x \leq x + 4 \implies x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies -1 \leq x \leq 4

Basit eşitsizliklerde taban 1'den küçük pozitif bir sayı olduğunda logaritma içi ifadeler karşılaştırılırken yön değiştirilir.

Elde edilen çözüm kümesi ile tanım kümesi kesiştirilir.

[-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]

Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda fonksiyonu tanımlı kılması şarttır.

Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.

[-1, 0)

aralığındaki tam sayı:

-1

(2, 4]

aralığındaki tam sayılar:

3, 4

Toplam:

(-1) + 3 + 4 = 6

Sağlayan tam sayıların toplamı

6

olarak bulunur.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve logaritmanın en geniş tanım kümesi sınırlamalarının çözüme dahil edilmesi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic