Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Analitik düzlemdeki birim çember üzerinde, koordinatları P(−35,45)P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) olan bir PP noktası veriliyor. PP noktasını orijine birleştiren ışının, xx ekseninin pozitif yön��yle yaptığı açı α\alpha dır.

Buna göre,
cos⁡(3π2−α)⋅tan⁡(π+α)sin⁡(3π−α)\frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \tan(\pi + \alpha)}{\sin(3\pi - \alpha)}
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    −43-\frac{4}{3}
  2. B
    −1-1
  3. C
    34\frac{3}{4}
  4. 43\frac{4}{3}Answer
  5. E
    11

Answer

İfadenin değeri dört bölü üçtür.
Birim çember üzerindeki P(−35,45)P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) noktası koordinat düzleminin 2. bölgesindedir. Burada cos⁡α=−35\cos\alpha = -\frac{3}{5} ve sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} olup tan⁡α=−43\tan\alpha = -\frac{4}{3} değerine ulaşılır. Soruda verilen ifadedeki terimler indirgendiğinde: cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha, tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha ve sin⁡(3π−α)=sin⁡α\sin(3\pi - \alpha) = \sin\alpha elde edilir. Bu değerler kesirde yerine koyulduğunda sinüs terimleri sadeleşir ve geriye −tan⁡α-\tan\alpha kalır. Tanımlanan tan⁡α=−43\tan\alpha = -\frac{4}{3} değeri yerine yazıldığında sonuç dört bölü üç olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birim çember üzerindeki noktanın koordinatlarından trigonometrik oranları belirlemek
cos⁡α=−35\cos\alpha = -\frac{3}{5}, sin⁡α=45\sin\alpha = \frac{4}{5} ve buradan tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=4/5−3/5=−43\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} bulunur.
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi açının kosinüsüne, ordinatı ise sinüsüne eşittir.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri bölgelere göre indirgemek
cos⁡(3π2−α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha, tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha ve sin⁡(3π−α)=sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha elde edilir.
3π2\frac{3\pi}{2} kullanıldığında isim değişir ve 3. bölgede kosinüs negatiftir. π\pi ve 3π3\pi kullanıldığında isim değişmez; bölgelere göre işaret tespiti yapılır.
3
İndirgenen ifadeleri yerine yazarak sadeleştirme yapmak
(−sin⁡α)⋅tan⁡αsin⁡α=−tan⁡α\frac{(-\sin\alpha) \cdot \tan\alpha}{\sin\alpha} = -\tan\alpha elde edilir.
Pay ve paydadaki sin⁡α\sin\alpha ifadeleri birbirini sadeleştirir.
4
Sayısal değeri yerine koyarak nihai sonucu hesaplamak
−tan⁡α=−(−43)=43-\tan\alpha = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} bulunur.
İlk adımda elde edilen tan⁡α\tan\alpha değeri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic