Examkin

Question

Difficulty: HardYarım Açı Formülleri
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
sin⁡(3x)cos⁡x+cos⁡(3x)sin⁡x=83\frac{\sin(3x)}{\cos x} + \frac{\cos(3x)}{\sin x} = \frac{8}{3}

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

  1. −1010-\frac{\sqrt{10}}{10}Answer
  2. B
    −31010-\frac{3\sqrt{10}}{10}
  3. C
    −55-\frac{\sqrt{5}}{5}
  4. D
    1010\frac{\sqrt{10}}{10}
  5. E
    31010\frac{3\sqrt{10}}{10}

Answer

−1010-\frac{\sqrt{10}}{10}
Doğru olan değer, ifadenin payda eşitleme ve yarım açı formülleriyle sadeleştirilerek 2cot⁡(2x)=832\cot(2x) = \frac{8}{3} eşitliğinin elde edilmesi, ardından 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında cos⁡(2x)=−45\cos(2x) = -\frac{4}{5} değerinin bulunması ve son olarak yarım açı formülü yardımıyla 2. bölgede negatif olan kosinüs değeri olan −1010-\frac{\sqrt{10}}{10} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenerek tek bir kesir haline getirilir.
sin⁡(3x)sin⁡x+cos⁡(3x)cos⁡xsin⁡xcos⁡x=83\frac{\sin(3x)\sin x + \cos(3x)\cos x}{\sin x \cos x} = \frac{8}{3}
Trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek ve bilinen toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için.
2
Pay kısmındaki kosinüs fark formülü (cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b) ve payda kısmındaki sinüs yarım açı formülü (sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x) uygulanarak ifade sadeleştirilir.
cos⁡(3x−x)12sin⁡(2x)=2cos⁡(2x)sin⁡(2x)=2cot⁡(2x)=83\frac{\cos(3x - x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2\cot(2x) = \frac{8}{3}
İfadeyi tek bir açın��n (2x2x) trigonometrik oranı cinsinden yazmak için.
3
2cot⁡(2x)=832\cot(2x) = \frac{8}{3} eşitliğinden cot⁡(2x)=43\cot(2x) = \frac{4}{3} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı kullanılarak 2x2x açısının bölgesi belirlenir ve buna göre cos⁡(2x)\cos(2x) değeri hesaplanır.
2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan, 2x2x açısı 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs ve sinüs değerleri negatiftir. Dolayısıyla, cot⁡(2x)=43\cot(2x) = \frac{4}{3} ise cos⁡(2x)=−45\cos(2x) = -\frac{4}{5} elde edilir.
2x2x açısının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik oranların işaretlerini doğru belirlemek için.
4
Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 kullanılarak cos⁡2x\cos^2 x değeri hesaplanır.
−45=2cos⁡2x−1  ⟹  2cos⁡2x=15  ⟹  cos⁡2x=110-\frac{4}{5} = 2\cos^2 x - 1 \implies 2\cos^2 x = \frac{1}{5} \implies \cos^2 x = \frac{1}{10}
2x2x açısından xx açısının kosinüs değerine geçiş yapmak için.
5
xx açısının bulunduğu aralık (x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right), 2. bölge) dikkate alınarak cos⁡x\cos x değerinin işareti belirlenir ve karekökü alınır.
2. bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan cos⁡x=−110=−1010\cos x = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} bulunur.
xx açısının bulunduğu bölgeye göre nihai sonucun işaretini belirlemek için.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic