Examkin

Question

Difficulty: HardYarım Açı Formülleri
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2x)−sin⁡(x)=35\sqrt{1 - \sin(2x)} - \sin(x) = \frac{3}{5}

olduğuna g��re, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

  1. −2425-\frac{24}{25}Answer
  2. B
    2425\frac{24}{25}
  3. C
    −1225-\frac{12}{25}
  4. D
    1225\frac{12}{25}
  5. E
    −725-\frac{7}{25}

Answer

−2425-\frac{24}{25}
İkinci bölgedeki işaret kurallarına uyularak karekök dışına çıkarma işlemi yapıldıktan sonra elde edilen cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} değerleri yarım açı formülünde yerine yazıldığında −2425-\frac{24}{25} değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Karekök içindeki ifadenin tam kare açılımı şeklinde yazılması
1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 özdeşliği kullanılarak 1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| elde edilir.
Karekök dışına çıkarma işlemini doğru yapabilmek için kök içini tam kareye dönüştürürüz.
2
Açının bulunduğu bölgeye göre mutlak değer işaretinin belirlenmesi
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığı ikinci bölgeye karşılık gelir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x farkı pozitif bir değerdir. Bu nedenle ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak dışarı çıkar.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi açının bulunduğu bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretlerine bağlıdır.
3
Denklemin çözülerek cos⁡x\cos x değerinin bulunması
Bulunan ifade denklemde yerine yazıldığında, (sin⁡x−cos⁡x)−sin⁡x=35⇒−cos⁡x=35⇒cos⁡x=−35(\sin x - \cos x) - \sin x = \frac{3}{5} \Rightarrow -\cos x = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos x = -\frac{3}{5} elde edilir.
Denklemdeki sinüs terimleri birbirini sadeleştirir ve kosinüsün değerine doğrudan ulaşmamızı sağlar.
4
sin⁡x\sin x değerinin hesaplanması
xx açısı ikinci bölgede olduğundan sin⁡x>0\sin x > 0 olmalıdır. sin⁡x=1−cos⁡2x=1−(−35)2=1625=45\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} bulunur.
Sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamının 11 olması kuralı kullanılarak sinüs değeri elde edilir.
5
sin⁡(2x)\sin(2x) yarım açı formülünün uygulanması
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2 \sin x \cos x formülünde elde edilen değerler yerine konulursa, sin⁡(2x)=2⋅45⋅(−35)=−2425\sin(2x) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} sonucuna ulaşılır.
Yarım açı formülü yardımıyla iki kat açının sinüs değeri hesaplanır.

Key Concept

İkinci bölgedeki bir açının trigonometrik değerlerini kullanarak yarım açı formülleriyle sin(2x) değerinin bulunması

Alternative Method

cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} değerleri bulunduktan sonra sin⁡x−cos⁡x=75\sin x - \cos x = \frac{7}{5} olduğu görülür. Bu ifadenin her iki tarafının karesi alındığında sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=4925⇒1−sin⁡(2x)=4925\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{49}{25} \Rightarrow 1 - \sin(2x) = \frac{49}{25} olur. Buradan sin⁡(2x)=1−4925=−2425\sin(2x) = 1 - \frac{49}{25} = -\frac{24}{25} elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic