Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için \int (2x + 1) \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C\neşitliği sağlanmaktadır. f(1) = \frac{3}{2} olduğuna göre, f(2) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için \int (2x + … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int (2x + 1) \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(1) = \frac{3}{2}$ olduğuna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

A
3
B
4
5Answer
D
6
E
7

Answer

f(2) = 5

Verilen integral eşitliğinin her iki yanının türevi alındığında

(2x + 1) f'(x) = (2x+1)(3x-1)

elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında

f'(x) = 3x - 1

olur. Bu ifadenin integrali alındığında

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + C_1

bulunur.

f(1) = \frac{3}{2}

koşulu kullanılarak

C_1 = 1

olarak elde edilir. Buradan fonksiyon

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1

bulunur ve

f(2) = 5

değeri hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

(2x + 1) \cdot f'(x) = 6x^2 + x - 1

Belirsiz integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.

Türev alma sonucu oluşan

6x^2 + x - 1

ifadesi çarpanlarına ayrılır.

(2x + 1) \cdot f'(x) = (2x + 1)(3x - 1)

Eşitliğin her iki tarafındaki ortak çarpanları sadeleştirmek için sağ taraf çarpanlarına ayrılmalıdır.

Her iki taraf

2x + 1

ile sadeleştirilerek

f'(x)

fonksiyonu yalnız bırakılır.

f'(x) = 3x - 1

f(x) fonksiyonunu bulmak için öncelikle türev fonksiyonu olan f'(x) elde edilmelidir.

Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integrali alınarak f(x) fonksiyonu bulunur.

f(x) = \int (3x - 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} - x + C_1

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulanır ve integral sabiti eklenir.

Verilen

f(1) = \frac{3}{2}

başlangıç koşulu kullanılarak integral sabiti

C_1

hesaplanır.

f(1) = \frac{3(1)^2}{2} - 1 + C_1 = \frac{3}{2} \implies C_1 = 1

Fonksiyonun tam kuralını bulabilmek için belirsiz integralden gelen sabit sayı belirlenmelidir.

f(x) = \frac{3x^2}{2} - x + 1

fonksiyonunda

x = 2

yazılarak istenen değer hesaplanır.

f(2) = \frac{3(2)^2}{2} - 2 + 1 = 6 - 2 + 1 = 5

Soruda bizden istenen f(2) değerini elde etmek için fonksiyonda x yerine 2 yazılır.

Key Concept

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral ve integral alma kuralları kullanılarak kendisinin elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic