Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
xx bir dar açı olmak üzere,
\frac{\cos(x - 5\pi) \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \sin(3\pi + x) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}{\cot\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) \cdot \cot(11\pi + x)} + \cos^2\left\(\frac{13\pi}{2} - x\right) + \cos^2(x - 7\pi)

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    -2
  2. B
    -1
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. 2Answer

Answer

İfadenin en sade şekli 2'dir.
İfade adım adım indirgendiğinde rasyonel kısmın payı cos^2(x) + sin^2(x) = 1, paydası tan(x) * cot(x) = 1 olarak bulunur. Böylece rasyonel kısım 1 değerine eşit olur. Yan taraftaki kareli terimlerin toplamı da sin^2(x) + cos^2(x) = 1 olduğundan, tüm ifadenin en sade şekli 2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Rasyonel ifadenin payındaki terimleri esas ölçü ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirelim.
cos⁡(x−5π)=cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(x - 5\pi) = \cos(5\pi - x) = -\cos(x)
sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡(x)\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x)
Çarpımları: (−cos⁡(x))⋅(−cos⁡(x))=cos⁡2(x)(-\cos(x)) \cdot (-\cos(x)) = \cos^2(x)

sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)
cos⁡(5π2+x)=cos⁡(π2+x)=−sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)
Çarpımları: (−sin⁡(x))⋅(−sin⁡(x))=sin⁡2(x)(-\sin(x)) \cdot (-\sin(x)) = \sin^2(x)

Payın toplamı: cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 olur.
Pay kısmındaki her bir trigonometrik fonksiyonun hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaretlerini ve isim değiştirip değiştirmeyeceklerini saptamak için.
2
Rasyonel ifadenin paydasındaki terimleri esas ölçü ve indirgeme formüllerini kullanarak sadeleştirelim.
cot⁡(9π2−x)=cot⁡(π2−x)=tan⁡(x)\cot\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)
cot⁡(11π+x)=cot⁡(π+x)=cot⁡(x)\cot(11\pi + x) = \cot(\pi + x) = \cot(x)
Çarpımları: tan⁡(x)⋅cot⁡(x)=1\tan(x) \cdot \cot(x) = 1 olur.

Böylece rasyonel ifade: 11=1\frac{1}{1} = 1 bulunur.
Payda kısmındaki trigonometrik çarpımın sade halini bulmak ve rasyonel ifadenin değerini belirlemek için.
3
Rasyonel ifadenin sağında bulunan kareli terimleri indirgeyip toplam ifadenin sonucunu hesaplayalım.
cos⁡(13π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)  ⟹  cos⁡2(13π2−x)=sin⁡2(x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) \implies \cos^2\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin^2(x)
cos⁡(x−7π)=cos⁡(7π−x)=−cos⁡(x)  ⟹  cos⁡2(x−7π)=(−cos⁡(x))2=cos⁡2(x)\cos(x - 7\pi) = \cos(7\pi - x) = -\cos(x) \implies \cos^2(x - 7\pi) = (-\cos(x))^2 = \cos^2(x)
Kareleri toplamı: sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 olur.

Tüm ifadenin değeri: 1+1=21 + 1 = 2 olarak bulunur.
Kalan terimlerin değerlerini esas ölçü ve trigonometrik kimlikler yardımıyla bulup rasyonel ifadenin sonucuna eklemek için.

Key Concept

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic