Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(x−3x+1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-3}{x+1}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı kaçtır?
  1. A
    -4
  2. B
    0
  3. -1Answer
  4. D
    3
  5. E
    5

Answer

Eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı ile en büyük negatif tam sayının toplamı -1'dir.
Logaritmik eşitsizlik doğru çözüldüğünde ve logaritmanın tanımlı olma şartı (x−3x+1>0\frac{x-3}{x+1} > 0) uygulandığında çözüm kümesi (−∞,−5]∪(3,∞)(-\infty, -5] \cup (3, \infty) olarak bulunur. Bu aralıktaki en büyük negatif tam sayı −5-5, en küçük pozitif tam sayı ise 44'tür. Toplamları ise −1-1 yapar.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x−3x+1>0\frac{x-3}{x+1} > 0 olmalıdır. Bu rasyonel ifadenin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1'dir. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi T=(−∞,−1)∪(3,∞)T = (-\infty, -1) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizliğin çözülmesi
log⁡12(x−3x+1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x-3}{x+1}\right) \geq -1 eşitsizliğinde taban 12\frac{1}{2} (0<12<10 < \frac{1}{2} < 1) olduğundan logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: x−3x+1≤(12)−1⇒x−3x+1≤2\frac{x-3}{x+1} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \Rightarrow \frac{x-3}{x+1} \leq 2 elde edilir.
Logaritma tabanı basit kesir (0 ile 1 arasında) olduğunda azalan fonksiyon özelliğinden dolayı eşitsizlik yön değiştirir.
3
Rasyonel eşitsizliğin çözülmesi ve köklerin bulunması
x−3x+1−2≤0⇒x−3−2(x+1)x+1≤0⇒−x−5x+1≤0\frac{x-3}{x+1} - 2 \leq 0 \Rightarrow \frac{x-3-2(x+1)}{x+1} \leq 0 \Rightarrow \frac{-x-5}{x+1} \leq 0 elde edilir. Payı −1-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: x+5x+1≥0\frac{x+5}{x+1} \geq 0 olur. Kökler x=−5x = -5 (pay kökü) ve x=−1x = -1 (payda kökü) şeklindedir. İşaret tablosundan eşitsizliğin çözüm aralığı C1=(−∞,−5]∪(−1,∞)C_1 = (-\infty, -5] \cup (-1, \infty) olarak bulunur.
Eşitsizlik tablosu oluşturarak cebirsel çözüm kümesini belirlemek için tüm terimler tek bir tarafta toplanır ve payda eşitlenir.
4
Tanım kümesi ile çözüm kümesinin kesiştirilmesi
Tanım kümesi T=(−∞,−1)∪(3,∞)T = (-\infty, -1) \cup (3, \infty) ile rasyonel eşitsizlik çözümü C1=(−∞,−5]∪(−1,∞)C_1 = (-\infty, -5] \cup (-1, \infty) kesiştirilir: C=T∩C1=(−∞,−5]∪(3,∞)C = T \cap C_1 = (-\infty, -5] \cup (3, \infty) elde edilir.
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmanın tanım kümesinde yer alması zorunludur.
5
İstenen tam sayı değerlerinin bulunması ve toplanması
Çözüm kümesindeki en büyük negatif tam sayı x=−5x = -5'tir. En küçük pozitif tam sayı ise x=4x = 4'tür. Bu iki değerin toplamı: −5+4=−1-5 + 4 = -1 olarak hesaplanır.
Soru kökünde istenen koşulları sağlayan sınır tam sayı değerleri belirlenip toplanır.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin çözüm kümesine dahil edilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic