Examkin

Question

Difficulty: HardYarım Açı Formülleri
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
1+cos⁡(2x)+cos⁡xsin⁡(2x)+sin⁡x=−43\frac{1 + \cos(2x) + \cos x}{\sin(2x) + \sin x} = -\frac{4}{3}
olduğuna göre,
cos⁡2(x4)−sin⁡2(x4)\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right)
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. 1010\frac{\sqrt{10}}{10}Answer
  2. B
    31010\frac{3\sqrt{10}}{10}
  3. C
    −1010-\frac{\sqrt{10}}{10}
  4. D
    55\frac{\sqrt{5}}{5}
  5. E
    −31010-\frac{3\sqrt{10}}{10}

Answer

1010\frac{\sqrt{10}}{10}
Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde cot⁡x=−43\cot x = -\frac{4}{3} elde edilir. xx açısı ikinci bölgede olduğundan cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur. Sorulan ifade yarım açı formülüyle cos⁡(x/2)\cos(x/2) değerine eşittir. Yarım açı formülüyle cos⁡(x/2)=1+cos⁡x2=1010\cos(x/2) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10} hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rasyonel ifadenin pay ve paydasındaki yarım açı formüllerini kullanarak sadeleştirme yapınız.
cos⁡x(2cos⁡x+1)sin⁡x(2cos⁡x+1)=cot⁡x=−43\frac{\cos x(2\cos x + 1)}{\sin x(2\cos x + 1)} = \cot x = -\frac{4}{3}
Payda bulunan cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 2cos⁡2x−12\cos^2 x - 1 ve paydada bulunan sin⁡(2x)\sin(2x) yerine 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x yazılarak ortak paranteze alınır ve sadeleştirilir.
2
xx açısının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak cos⁡x\cos x değerini hesaplayınız.
cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5}
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığı ikinci bölgeye denk gelir. İkinci bölgede kosinüs negatif, sinüs ise pozitiftir. cot⁡x=−43\cot x = -\frac{4}{3} olduğundan, dik üçgen bağıntıları yardımıyla cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} bulunur.
3
Sorulan ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla sadeleştiriniz.
cos⁡2(x4)−sin⁡2(x4)=cos⁡(x2)\cos^2\left(\frac{x}{4}\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)
cos⁡(2θ)=cos⁡2θ−sin⁡2θ\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta özdeşliğinde θ=x4\theta = \frac{x}{4} yazıldığında sorulan ifadenin cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) değerine eşit olduğu görülür.
4
cos⁡(x2)\cos\left(\frac{x}{2}\right) değerini yarım açı formülüyle hesaplayınız.
cos⁡(x2)=1010\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{10}}{10}
cos⁡2(x2)=1+cos⁡x2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{2} formülünde cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} yazılırsa cos⁡2(x2)=110\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{10} elde edilir. x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olduğundan x2∈(π4,π2)\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur (birinci bölge). Birinci bölgede kosinüs pozitif olduğundan cos⁡(x2)=110=1010\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} bulunur.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic