f(x) ve g(x) gerçel katsayılı birer polinom fonksiyonu olmak üzere, f(x) = \int g(x) \, dx g(x) = \int (12x - 6) \, dx \neşitlikleri veriliyor. g(1) = 6 ve f(1) = 3 olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?

f(x) ve g(x) gerçel katsayılı birer polinom fonksiyonu olmak üzere, f(x) = \int g(x) \, dx… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f(x)$ ve $g(x)$ gerçel katsayılı birer polinom fonksiyonu olmak üzere,

f(x) = \int g(x) \, dx

g(x) = \int (12x - 6) \, dx

eşitlikleri veriliyor.

$g(1) = 6$ ve $f(1) = 3$ olduğuna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

İntegral sabitleri doğru hesaplandığında elde edilen kırk üç değeri

Doğru cevap olan kırk üç değeri, her iki belirsiz integral işleminde de sınır koşulları kullanılarak sırasıyla

C_1 = 6

C_2 = -2

integral sabitlerinin hatasız şekilde hesaplanmasıyla elde edilen

f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 2

fonksiyonunda

x=3

yazılarak bulunur.

g(x)

fonksiyonunu bulmak için belirsiz integral alınır.

g(x) = \int (12x - 6) \, dx = 6x^2 - 6x + C_1

Belirsiz integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel ifadesi bulunur.

g(1) = 6

sınır koşulu kullanılarak birinci integral sabiti

C_1

hesaplanır.

g(1) = 6(1)^2 - 6(1) + C_1 = 6 \implies C_1 = 6

. Böylece

g(x) = 6x^2 - 6x + 6

olur.

Verilen sınır değeriyle integral sabiti netleştirilir.

f(x)

fonksiyonunu bulmak için

g(x)

fonksiyonunun belirsiz integrali alınır.

f(x) = \int (6x^2 - 6x + 6) \, dx = 2x^3 - 3x^2 + 6x + C_2

f(x)

'in tanımındaki integral işlemi gerçekleştirilir.

f(1) = 3

sınır koşulu kullanılarak ikinci integral sabiti

C_2

hesaplanır.

f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 6(1) + C_2 = 3 \implies 5 + C_2 = 3 \implies C_2 = -2

. Böylece

f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 6x - 2

olur.

İkinci integral sabiti bulunarak

f(x)

fonksiyonunun kuralı tam olarak belirlenir.

f(3)

değeri hesaplanır.

f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 + 6(3) - 2 = 54 - 27 + 18 - 2 = 43

f(x)

fonksiyonunda

x

yerine 3 yazılarak sonuca ulaşılır.

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin sınır koşullarıyla belirlenmesi