Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Tanımlı olduğu aralıkta xx gerçel sayısı için,

sin⁡(5π2−x)−cos⁡(3π+x)tan⁡(7π2−x)⋅sin⁡(π−x)\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \cos(3\pi + x)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) \cdot \sin(\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    -2
  2. B
    0
  3. C
    −2tan⁡x-2\tan x
  4. 2Answer
  5. E
    2\cot x

Answer

En sade biçimi 2 olan ifade
İndirgeme formülleri doğru bir şekilde uygulandığında pay kısmındaki ifade 2cos⁡x2\cos x, payda kısmındaki ifade ise cos⁡x\cos x olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin birbirine bölünmesiyle en sade biçim 2 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Açıların esas ölçülerini belirleme
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2}, 3π3\pi açısının esas ölçüsü π\pi ve 7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} olarak bulunur.
2π2\pi değerinden büyük olan radyan cinsinden açıları indirgeyebilmek için öncelikle 2π2\pi katlarını çıkararak esas ölçülerini bulmamız gerekir.
2
Bölgelere göre indirgeme formüllerini uygulama
sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x (1. bölge, sinüs pozitif, isim değişir)
cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi + x) = -\cos x (3. bölge, kosinüs negatif, isim değişmez)
tan⁡(3π2−x)=cot⁡x\tan\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \cot x (3. bölge, tanjant pozitif, isim değişir)
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x (2. bölge, sinüs pozitif, isim değişmez)
Her bir trigonometrik fonksiyonun hangi bölgeye düştüğünü belirleyip o bölgedeki işaretine göre indirgeme kurallarını uygularız. Açı π2\frac{\pi}{2} veya 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığında fonksiyon isim değiştirir (sin ↔\leftrightarrow cos, tan ↔\leftrightarrow cot); π\pi cinsinden yazıldığında ise isim değişmez.
3
İfadeleri yerine yazarak sadeleştirme yapma
Pay kısmı: cos⁡x−(−cos⁡x)=2cos⁡x\cos x - (-\cos x) = 2\cos x
Payda kısmı: cot⁡x⋅sin⁡x=cos⁡xsin⁡x⋅sin⁡x=cos⁡x\cot x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x
Sonuç: 2cos⁡xcos⁡x=2\frac{2\cos x}{\cos x} = 2
Bulunan indirgenmiş ifadeler kesirde yerlerine yazılır ve cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} özdeşliği kullanılarak gerekli sadeleştirmeler yapılır.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve indirgeme formüllerinin uygulanması
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic