Examkin

Question

Difficulty: HardBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫x⋅f′(x) dx=2x3−3x2+C\int x \cdot f'(x) \, dx = 2x^3 - 3x^2 + C
eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    4
  3. 7Answer
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

Doğru cevap 7'dir.
Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında x⋅f′(x)=6x2−6xx \cdot f'(x) = 6x^2 - 6x elde edilir. Her iki taraf xx ile bölündüğünde f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6 olur. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=3x2−6x+C1f(x) = 3x^2 - 6x + C_1 bulunur. f(1)=4f(1) = 4 koşuluyla C1=7C_1 = 7 olarak elde edilir. Buradan f(2)=3(2)2−6(2)+7=7f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 7 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.
x⋅f′(x)=6x2−6xx \cdot f'(x) = 6x^2 - 6x
Belirsiz integralin türevi, integralin içerisindeki fonksiyona eşittir.
2
Elde edilen eşitlikte her iki taraf xx ile bölünerek f′(x)f'(x) yalnız bırakılır.
f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6
f(x)f(x) fonksiyonuna ulaşmak için öncelikle türev fonksiyonunun kuralı bulunmalıdır.
3
f′(x)f'(x) fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak genel f(x)f(x) kuralı yazılır.
f(x)=∫(6x−6) dx=3x2−6x+C1f(x) = \int (6x - 6) \, dx = 3x^2 - 6x + C_1
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmak için integral alma kuralları uygulan��r ve integral sabiti eklenir.
4
f(1)=4f(1) = 4 başlangıç koşulu kullanılarak C1C_1 integral sabiti hesaplanır.
f(1)=3(1)2−6(1)+C1=4  ⟹  −3+C1=4  ⟹  C1=7f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + C_1 = 4 \implies -3 + C_1 = 4 \implies C_1 = 7
Fonksiyonun bilinen bir noktadaki değeri yardımıyla belirsiz integraldeki sabit terim netleştirilir.
5
Kuralı f(x)=3x2−6x+7f(x) = 3x^2 - 6x + 7 olarak bulunan fonksiyonda x=2x = 2 yazılarak sonuç elde edilir.
f(2)=3(2)2−6(2)+7=12−12+7=7f(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 12 - 12 + 7 = 7
Fonksiyonun kuralı tam olarak belirlendikten sonra istenen herhangi bir noktadaki değeri doğrudan hesaplanır.

Key Concept

Belirsiz integralin türevi ve temel integral alma kuralları yardımıyla fonksiyon kurallarının bulunması.

Alternative Method

Elde edilen f′(x)=6x−6f'(x) = 6x - 6 fonksiyonu için belirli integral yardımıyla da sonuca ulaşılabilir. ∫12f′(x) dx=f(2)−f(1)\int_{1}^{2} f'(x) \, dx = f(2) - f(1) eşitliği yazılırsa, ∫12(6x−6) dx=[3x2−6x]12=(12−12)−(3−6)=3\int_{1}^{2} (6x - 6) \, dx = [3x^2 - 6x]_{1}^{2} = (12 - 12) - (3 - 6) = 3 olur. Buradan f(2)−f(1)=3  ⟹  f(2)−4=3  ⟹  f(2)=7f(2) - f(1) = 3 \implies f(2) - 4 = 3 \implies f(2) = 7 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

More questions from this topic