Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)=∫(3x+1)2 dx−∫(3x−1)2 dxf(x) = \int (3x+1)^2 \, dx - \int (3x-1)^2 \, dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=10f(1) = 10 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    24
  2. 28Answer
  3. C
    34
  4. D
    46
  5. E
    52

Answer

28
İntegralin fark özelliği kullanılarak integralin içi (3x+1)2−(3x−1)2=12x(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = 12x şeklinde sadeleştirilir. 12x12x ifadesinin belirsiz integrali alındığında f(x)=6x2+Cf(x) = 6x^2 + C elde edilir. f(1)=10f(1) = 10 koşulu kullanılarak C=4C = 4 bulunur. Buradan fonksiyon f(x)=6x2+4f(x) = 6x^2 + 4 olarak elde edilir ve x=2x = 2 için f(2)=28f(2) = 28 değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İntegral işleminin doğrusallık özelliğini kullanarak iki ayrı integrali tek bir integral altında birleştirin.
f(x)=∫[(3x+1)2−(3x−1)2] dxf(x) = \int \left[ (3x+1)^2 - (3x-1)^2 \right] \, dx
Belirsiz integralde çıkarma işlemini tek bir integral altında toplamak sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
İntegral içindeki ifadeyi iki kare farkı veya tam kare açılımı yardımıyla sadeleştirin.
(3x+1)2−(3x−1)2=(9x2+6x+1)−(9x2−6x+1)=12x(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = (9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - 6x + 1) = 12x olduğundan integral f(x)=∫12x dxf(x) = \int 12x \, dx hâline gelir.
İntegral alma kuralını uygulamadan önce integrali alınacak ifadeyi en sade biçime getirmek gerekir.
3
Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak integrali hesaplayın ve integral sabitini ekleyin.
f(x)=6x2+Cf(x) = 6x^2 + C (burada CC bir gerçel sayı sabitidir)
Belirsiz integralin genel tanımı gereği integral sabiti CC eklenmelidir.
4
Verilen f(1)=10f(1) = 10 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti CC'yi bulun.
f(1)=6(1)2+C=10  ⟹  6+C=10  ⟹  C=4f(1) = 6(1)^2 + C = 10 \implies 6 + C = 10 \implies C = 4 olarak bulunur. Dolayısıyla f(x)=6x2+4f(x) = 6x^2 + 4 olur.
Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla genel çözümden özel çözüme geçilir.
5
Bulunan f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine 22 yazarak f(2)f(2) değerini hesaplayın.
f(2)=6(2)2+4=6⋅4+4=28f(2) = 6(2)^2 + 4 = 6 \cdot 4 + 4 = 28 olarak bulunur.
Soruda istenen f(2)f(2) değerine ulaşmak amacıyla.

Key Concept

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Alternative Method

İntegralleri tek bir integral altında birleştirmek yerine, her bir integrali ayrı ayrı ∫(3x+1)2 dx=(3x+1)39+C1\int (3x+1)^2 \, dx = \frac{(3x+1)^3}{9} + C_1 ve ∫(3x−1)2 dx=(3x−1)39+C2\int (3x-1)^2 \, dx = \frac{(3x-1)^3}{9} + C_2 şeklinde hesaplayıp farklarını alarak da çözüme ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

More questions from this topic