Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(x⋅f′(x)+f(x))dx=x2−2x \int \left( x \cdot f'(x) + f(x) \right) dx = x^2 - 2x
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=2f(1) = 2 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?
  1. A
    1
  2. 2Answer
  3. C
    3
  4. D
    6
  5. E
    23\frac{2}{3}

Answer

Doğru cevap 2'dir.
Verilen eşitliğin sol tarafında yer alan integralin içerisindeki x⋅f′(x)+f(x)x \cdot f'(x) + f(x) ifadesi, x⋅f(x)x \cdot f(x) ifadesinin türevidir. Buradan integral alındığında x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C denklemi elde edilir. f(1)=2f(1) = 2 sınır koşulu yerine yazıldığında 1⋅2=12−2(1)+C1 \cdot 2 = 1^2 - 2(1) + C den C=3C = 3 olarak bulunur. Fonksiyon denklemi x⋅f(x)=x2−2x+3x \cdot f(x) = x^2 - 2x + 3 halini alır. x=3x = 3 için bu denklem 3⋅f(3)=32−2(3)+3=63 \cdot f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 6 eşitliğini verir ve buradan f(3)=2f(3) = 2 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İntegralin içindeki ifadenin çarpımın türevi kuralına uygunluğunu kontrol etme.
x⋅f′(x)+f(x)=(x⋅f(x))′x \cdot f'(x) + f(x) = (x \cdot f(x))' olduğunu görme.
Çarpımın türevi kuralı gereği, (g(x)⋅h(x))′=g′(x)h(x)+g(x)h′(x)(g(x) \cdot h(x))' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) olup bu kural g(x)=xg(x) = x ve h(x)=f(x)h(x) = f(x) için uygulandığında integralin içindeki ifadeyi verir.
2
Eşitliğin her iki tarafının integralini çözerek f(x)f(x) fonksiyonuna bağlı ifadeyi elde etme.
x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C
Türevi alınmış bir ifadenin belirsiz integrali, ifadenin kendisine bir integral sabiti (C) eklenmesiyle bulunur.
3
Verilen f(1)=2f(1) = 2 başlangıç koşulunu kullanarak C sabitini hesaplama.
1⋅f(1)=12−2(1)+C  ⟹  2=−1+C  ⟹  C=31 \cdot f(1) = 1^2 - 2(1) + C \implies 2 = -1 + C \implies C = 3
Fonksiyonun kuralını tam olarak belirlemek için integral sabitinin sayısal değerini bulmamız gerekir.
4
Elde edilen x⋅f(x)=x2−2x+3x \cdot f(x) = x^2 - 2x + 3 eşitliğinde x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) değerini hesaplama.
3⋅f(3)=32−2(3)+3  ⟹  3⋅f(3)=6  ⟹  f(3)=23 \cdot f(3) = 3^2 - 2(3) + 3 \implies 3 \cdot f(3) = 6 \implies f(3) = 2
Soruda bizden istenen hedef değeri bulmak için denklemde değişken yerine ilgili sayıyı yazarız.

Key Concept

Çarpımın türevi kuralı içeren ifadelerin belirsiz integrali ve integral sabiti (C) hesabı

Alternative Method

Eşitliğin her iki tarafının x'e göre türevi alınabilir:
ddx[∫(x⋅f′(x)+f(x)) dx]=ddx(x2−2x)\frac{d}{dx} \left[ \int (x \cdot f'(x) + f(x)) \, dx \right] = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x)
Buradan x⋅f′(x)+f(x)=2x−2x \cdot f'(x) + f(x) = 2x - 2 elde edilir. Sol taraf (x⋅f(x))′(x \cdot f(x))' çarpım türevi olduğundan:
(x⋅f(x))′=2x−2(x \cdot f(x))' = 2x - 2
Her iki tarafın tekrar belirsiz integrali alınırsa:
x⋅f(x)=x2−2x+Cx \cdot f(x) = x^2 - 2x + C
bağıntısı bulunur. Buradan da f(1)=2f(1) = 2 yazılarak C=3C = 3 ve ardından f(3)=2f(3) = 2 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

More questions from this topic