Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri

Her x∈Rx \in \mathbb{R} için sürekli olan bir ff fonksiyonu,

f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6

eşitliğini sağlamaktadır.
∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10

olduğuna göre,

∫14f(x) dx\int_{1}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Answer: 8

Answer

İntegralin değeri 8 olarak bulunur.
Verilen f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 fonksiyonel eşitliğinin [0,3][0, 3] aralığındaki integrali alındığında, belirli integralin lineerlik ve değişken değiştirme özellikleri kullanılarak ∫03f(x) dx+∫14f(x) dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 eşitliğine ulaşılır. Burada ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değeri yerine yazıldığında, aranan integralin değeri 8 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının [0,3][0, 3] aralığında belirli integralini alın.
∫03f(x) dx+∫03f(4−x) dx=∫036 dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{0}^{3} 6 \, dx = 18
Verilen belirli integral sınırları [0,3][0, 3] olduğundan, bu aralıkta entegrasyon yaparak verilen bilgileri kullanmayı hedefleriz.
2
Sol taraftaki ikinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=−dxdu = -dx ve yeni sınırlar: x=0  ⟹  u=4x = 0 \implies u = 4, x=3  ⟹  u=1x = 3 \implies u = 1 olur.
İntegral sınırlarını hedeflediğimiz [1,4][1, 4] aralığıyla ilişkilendirmek ve fonksiyonun içini basitleştirmek.
3
Değişken değiştirmeyi ikinci integrale uygulayarak basitleştirin.
∫03f(4−x) dx=∫41f(u)(−du)=∫14f(u) du=∫14f(x) dx\int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{4}^{1} f(u) (-du) = \int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(x) \, dx
Belirli integralin sınır değiştirme özelliği (eksi işaretinin sınırları ters çevirmesi) ve değişken adının integralin değerini etkilememesi.
4
Elde edilen sonuçları ana denklemde yerine yazarak hedef integrali hesaplayın.
10+∫14f(x) dx=18  ⟹  ∫14f(x) dx=810 + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
Verilen ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değerini yerine yazarak bilinmeyen integrali çekmek.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve integral sınırlarının güncellenmesi ile integralin lineerlik özellikleri.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic