Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
tan⁡x−cot⁡x=−4\tan x - \cot x = -4
olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) değeri kaçtır?

Answer: 0.8

Answer

0.8
Verilen denklemde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡(2x)\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) ve payda kısmında sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x \cos x = \frac{\sin(2x)}{2} elde edilir. Buradan denklem −2cot⁡(2x)=−4-2\cot(2x) = -4 halini alır ve cot⁡(2x)=2\cot(2x) = 2 bulunur. Çarpmaya göre tersi alınarak tan⁡(2x)=0.5\tan(2x) = 0.5 değerine ulaşılır. Son adımda sin⁡(4x)=2tan⁡(2x)1+tan⁡2(2x)\sin(4x) = \frac{2\tan(2x)}{1+\tan^2(2x)} formülü uygulandığında sonuç 0.80.8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları sinüs ve kosinüs cinsinden yazılıp payda eşitlenir.
sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=−4\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = -4
İfadeyi yarım açı formülleriyle sadeleştirebilmek için temel trigonometrik fonksiyonlara dönüşt��rmek gerekir.
2
Sinüs ve kosinüs yarım açı formülleri yerlerine yazılır.
cot⁡(2x)=2\cot(2x) = 2
Elde edilen kesirli ifadeyi tek bir trigonometrik oran cinsinden yazıp sadeleştirmek hedeflenir.
3
Kotanjant oranından yararlanarak tanjant oranı belirlenir.
tan⁡(2x)=0.5\tan(2x) = 0.5
Sonraki adımda sinüs iki kat açı formülünü tanjant cinsinden daha hızlı uygulayabilmek için bu değer hesaplanır.
4
Tanjant değeri bilinen 2x2x açısının iki katı olan 4x4x açısının sinüs değeri formül yardımıyla bulunur.
sin⁡(4x)=0.8\sin(4x) = 0.8
İstenen sin⁡(4x)\sin(4x) değerine doğrudan ulaşmak için yarım açı formülü uygulanır.

Key Concept

Tanjant ve kotanjant farkının yarım açı formülleri ile sadeleştirilmesi ve iki kat açının sinüs değerinin bulunması.
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic