Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)sin⁡x+cos⁡x=13\frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

  1. A
    23\frac{2}{3}
  2. B
    45\frac{4}{5}
  3. C
    −89-\frac{8}{9}
  4. 89\frac{8}{9}Answer
  5. E
    459\frac{4\sqrt{5}}{9}

Answer

89\frac{8}{9}
Doğru cevap olan sekiz bölü dokuz ifadesi, verilen kesirli ifadede kosinüs yarım açı formülü uygulanıp paydadaki ifadeyle sadeleştirildikten sonra elde edilen fark denkleminin karesi alınarak bulunur. Kare alma işlemi sonucunda temel trigonometrik özdeşlikler ve sinüs yarım açı formülü kullanılarak istenen değer tam olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Pay k��smında bulunan cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesine yarım açı formülü uygulanarak iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) elde edilir.
Paydadaki sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x terimi ile sadeleştirme yapabilmek için bu açılım gereklidir.
2
Elde edilen çarpanlar kesirli ifadede yerine yazılır ve sadeleştirme işlemi gerçekleştirilir.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)sin⁡x+cos⁡x=13  ⟹  cos⁡x−sin⁡x=13\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{3} \implies \cos x - \sin x = \frac{1}{3} elde edilir.
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında sin⁡x+cos⁡x≠0\sin x + \cos x \neq 0 olduğundan sadeleştirme güvenle yapılabilir.
3
Sadeleşmiş olan cos⁡x−sin⁡x=13\cos x - \sin x = \frac{1}{3} denkleminin her iki tarafının karesi alınır.
(cos⁡x−sin⁡x)2=(13)2  ⟹  cos⁡2x+sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=19(\cos x - \sin x)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \implies \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x\cos x = \frac{1}{9} bulunur.
Yarım açı formülü olan 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡(2x)2\sin x\cos x = \sin(2x) ifadesine ulaşmak için kare alma işlemi uygulanır.
4
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 özdeşliği ve yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
1−sin⁡(2x)=19  ⟹  sin⁡(2x)=1−19=891 - \sin(2x) = \frac{1}{9} \implies \sin(2x) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} elde edilir.
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerini yalnız bırakarak nihai sonuca ulaşmak hedeflenmiştir.

Key Concept

Kosinüs yarım açı formülünün çarpanlara ayırma prensipleriyle birleştirilmesi ve sinüs yarım açı formülünün elde edilmesi.

Alternative Method

Verilen denklemde sadeleştirme yapıldıktan sonra cos⁡x−sin⁡x=13\cos x - \sin x = \frac{1}{3} eşitliği elde edilir. Bu adımdan sonra her iki taraf cos⁡x\cos x ifadesine bölünerek tan⁡x\tan x cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde edilip tan⁡x\tan x değeri bulunabilir. Bulunan tan⁡x\tan x değeri yardımıyla dik üçgen çizilerek veya sin⁡(2x)=2tan⁡x1+tan⁡2x\sin(2x) = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x} formülü kullanılarak da sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic