x > -2 olmak üzere, türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x+2} + 3x^2 \neşitliğini sağlamaktadır. f(2) = 8 olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?

x > -2 olmak üzere, türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x+2} … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$x > -2$ olmak üzere, türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi

f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x+2} + 3x^2

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(2) = 8$ olduğuna göre, $f(1)$ değeri kaçtır?

3/2

Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde

f'(x) = 3x^2 + x - 2

olur. Bu ifadenin integrali alındığında

f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C

elde edilir.

f(2) = 8

bilgisi kullanıldığında

8 + 2 - 4 + C = 8

denkleminden

C = 2

bulunur. Fonksiyon kuralı

f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 2

olarak kesinleşir. Bu kuralda

x = 1

yazıldığında

f(1) = 1 + \frac{1}{2} - 2 + 2 = \frac{3}{2}

sonucuna ulaşılır.

Türev fonksiyonundaki rasyonel ifade çarpanlarına ayrılarak sadeleştirilir.

f'(x) = x - 2 + 3x^2

İntegrasyon işlemini kolaylaştırmak için türev ifadesi en sade biçimine getirilir.

Türev fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak genel fonksiyon kuralı elde edilir.

f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + C

Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınmalıdır.

f(2) = 8

başlangıç koşulu fonksiyon kuralında yerine yazılarak integral sabiti bulunur.

C = 2

Belirli bir noktadaki fonksiyon değeri yardımıyla integral sabiti olan C'nin tek bir değeri belirlenir.

Elde edilen

f(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 2

fonksiyonunda

x = 1

yazılarak sonuç hesaplanır.

f(1) = \frac{3}{2}

Bizden istenen f(1) değerine ulaşmak için fonksiyonda x yerine 1 yazılır.

Belirsiz integral alma kuralları ve başlangıç koşulu yardımıyla fonksiyonun kendisini elde etme.