Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesinin R∖{−3,3}\mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\} alt kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(x)=∫x4−4x2+3x2−3 dxf(x) = \int \frac{x^4 - 4x^2 + 3}{x^2 - 3} \, dx
eşitliği sağlanmaktadır.

f(3)=10f(3) = 10 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

  1. A
    0
  2. B
    -2
  3. 4Answer
  4. D
    10
  5. E
    -14

Answer

Doğru cevap, doğru integral alma kuralları ve başlangıç koşulu kullanılarak elde edilen 4 değeridir.
Verilen rasyonel ifade çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde x2−1x^2 - 1 elde edilir. Bu ifadenin integral kurallarına göre integrali x33−x+C\frac{x^3}{3} - x + C şeklindedir. f(3)=10f(3) = 10 eşitliği kullanılarak 6+C=106 + C = 10 denkleminden integral sabiti C=4C = 4 olarak bulunur. Fonksiyonda xx yerine 00 yazıldığında f(0)=Cf(0) = C olduğundan, aranan değer 4 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
İntegrali alınacak rasyonel ifadenin pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapmak.
x4−4x2+3=(x2−3)(x2−1)x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 3)(x^2 - 1) olduğu için, x2≠3x^2 \neq 3 koşulu altında ifade (x2−3)(x2−1)x2−3=x2−1\frac{(x^2 - 3)(x^2 - 1)}{x^2 - 3} = x^2 - 1 biçiminde sadeleşir.
İntegral işlemini daha kolay gerçekleştirebilmek amacıyla ifadeyi polinom haline getirmek.
2
Elde edilen sadeleşmiş ifadenin belirsiz integralini hesaplamak.
f(x)=∫(x2−1) dx=x33−x+Cf(x) = \int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C olarak bulunur.
Belirsiz integral alma kuralları yardımıyla fonksiyonun genel kuralını integral sabitiyle birlikte belirlemek.
3
Verilen f(3)=10f(3) = 10 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti CC değerini bulmak.
f(3)=333−3+C=9−3+C=6+C=10  ⟹  C=4f(3) = \frac{3^3}{3} - 3 + C = 9 - 3 + C = 6 + C = 10 \implies C = 4 elde edilir.
Belirsiz integral sonucundaki belirsizliği verilen bir nokta yardımıyla ortadan kaldırmak.
4
Bulunan f(x)=x33−x+4f(x) = \frac{x^3}{3} - x + 4 fonksiyonunda x=0x = 0 yazarak f(0)f(0) değerini hesaplamak.
f(0)=033−0+4=4f(0) = \frac{0^3}{3} - 0 + 4 = 4 bulunur.
Soru kökünde bizden istenen hedef değere ulaşmak.

Key Concept

Polinom tipindeki ifadelerin belirsiz integral alma kuralları kullanılarak entegre edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

More questions from this topic