Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(x−1x−5)≥−1\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x-1}{x-5} \right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    (5, 9]
  2. B
    [9,∞)[9, \infty)
  3. (−∞,1)∪[9,∞)(-\infty, 1) \cup [9, \infty)Answer
  4. D
    (−∞,5)∪[9,∞)(-\infty, 5) \cup [9, \infty)
  5. E
    (−∞,5]∪[9,∞)(-\infty, 5] \cup [9, \infty)

Answer

Eşitsizliği sağlayan en geniş çözüm kümesi (-\infty, 1) \cup [9, \infty) aralığıdır.
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için hem logaritmanın tanım kümesi kuralı (içinin pozitif olması) hem de taban basit kesir olduğundan yön değiştiren cebirsel eşitsizliğin çözümü birlikte ele alınmalıdır. Bu iki kümenin kesişimi alındığında doğru aralık elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Logaritmanın tanım kümesi belirlenir.
Logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır: \frac{x-1}{x-5} > 0. Kökler 1 ve 5'tir. İşaret tablosundan tanım kümesi T = (-\infty, 1) \cup (5, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için içinin pozitif olması zorunludur.
2
Tabanın basit kesir olması dikkate alınarak eşitsizlik çözülür.
Taban 1/2 (0 ile 1 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: \frac{x-1}{x-5} \leq (1/2)^{-1} \implies \frac{x-1}{x-5} \leq 2 olur.
Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde logaritma kaldırılırken yön değiştirilir.
3
Cebirsel eşitsizlik düzenlenerek kökler bulunur.
\frac{x-1}{x-5} - 2 \leq 0 \implies \frac{9-x}{x-5} \leq 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri x = 9 (payın kökü, eşitlikten dolayı dahil) ve x = 5 (paydanın kökü, tanımsızlıktan dolayı dahil değil) şeklindedir. İşaret tablosundan cebirsel çözüm kümesi A = (-\infty, 5) \cup [9, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel eşitsizliklerde tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılarak işaret tablosuna geçilmelidir.
4
Tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesi kesiştirilir.
T \cap A = ((-\infty, 1) \cup (5, \infty)) \cap ((-\infty, 5) \cup [9, \infty)) = (-\infty, 1) \cup [9, \infty) bulunur.
En geniş çözüm kümesi, hem fonksiyonun tanımlı olduğu hem de eşitsizliği sağlayan x değerlerinin ortak kümesidir.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic