Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

α,β∈(0,π2)\alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,
cos⁡(3α+2β)−sin⁡(4α+5β)sin⁡(α+2β)\frac{\cos(3\alpha + 2\beta) - \sin(4\alpha + 5\beta)}{\sin(\alpha + 2\beta)}
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    −2tan⁡α-2\tan\alpha
  2. B
    2cot⁡α2\cot\alpha
  3. C
    00
  4. −2cot⁡α-2\cot\alphaAnswer
  5. E
    −2-2

Answer

−2cot⁡α-2\cot\alpha
Doğru cevap −2cot⁡α-2\cot\alpha ifadesidir. α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} ilişkisini kullanarak paydaki cos⁡(3α+2β)\cos(3\alpha + 2\beta) ifadesi cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha şeklinde, sin⁡(4α+5β)\sin(4\alpha + 5\beta) ifadesi ise sin⁡(2π+β)=sin⁡β=cos⁡α\sin(2\pi + \beta) = \sin\beta = \cos\alpha şeklinde indirgenir. Böylece pay kısmı −2cos⁡α-2\cos\alpha olur. Paydadaki sin⁡(α+2β)\sin(\alpha + 2\beta) ifadesi ise sin⁡(π2+β)=cos⁡β=sin⁡α\sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos\beta = \sin\alpha olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı −2cot⁡α-2\cot\alpha sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡(3α+2β)\cos(3\alpha + 2\beta) ve sin⁡(4α+5β)\sin(4\alpha + 5\beta) ifadelerini α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} ilişkisini kullanarak α\alpha cinsinden yazmak.
cos⁡(3α+2β)=−cos⁡α\cos(3\alpha + 2\beta) = -\cos\alpha ve sin⁡(4α+5β)=cos⁡α\sin(4\alpha + 5\beta) = \cos\alpha bulunur. Buradan pay ifadesi −cos⁡α−cos⁡α=−2cos⁡α-\cos\alpha - \cos\alpha = -2\cos\alpha olur.
3α+2β=2(α+β)+α=π+α3\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) + \alpha = \pi + \alpha olur. Bu açı 3. bölgede olduğundan kosinüs negatiftir ve isim değişmez. 4α+5β=4(α+β)+β=2π+β4\alpha + 5\beta = 4(\alpha + \beta) + \beta = 2\pi + \beta olur. Esas ölçüsü β\beta olup sin⁡(2π+β)=sin⁡β\sin(2\pi + \beta) = \sin\beta elde edilir. Tümler açılardan sin⁡β=cos⁡α\sin\beta = \cos\alpha yazılır.
2
Payda kısmındaki sin⁡(α+2β)\sin(\alpha + 2\beta) ifadesini indirgemek.
sin⁡(α+2β)=sin⁡α\sin(\alpha + 2\beta) = \sin\alpha elde edilir.
α+2β=(α+β)+β=π2+β\alpha + 2\beta = (\alpha + \beta) + \beta = \frac{\pi}{2} + \beta olur. Bu açı 2. bölgede olduğundan sinüs pozitiftir, ancak π2\frac{\pi}{2} nedeniyle isim değiştirerek cos⁡β\cos\beta olur. Tümler açılardan cos⁡β=sin⁡α\cos\beta = \sin\alpha yazılır.
3
Bulunan pay ve payda değerlerini oranlayarak ifadenin en sade halini elde etmek.
−2cos⁡αsin⁡α=−2cot⁡α\frac{-2\cos\alpha}{\sin\alpha} = -2\cot\alpha elde edilir.
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların π±x\pi \pm x, 2π±x2\pi \pm x ve π2±x\frac{\pi}{2} \pm x durumlarında bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve isim değiştirme kuralları.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic