Examkin

Question

Difficulty: HardYarım Açı Formülleri
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=163\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{16}{3}
olduğuna göre, tan⁡2x−cos⁡(2x)\tan^2 x - \cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. 72\frac{7}{2}Answer
  2. B
    52\frac{5}{2}
  3. C
    56\frac{5}{6}
  4. D
    54\frac{5}{4}
  5. E
    −16-\frac{1}{6}

Answer

Yedi bölü iki
Verilen rasyonel ifade payda eşitlenip yarım açı formülleriyle düzenlendiğinde sinüs karesinin değeri elde edilir. Açının sınırları dikkate alınarak kosinüs ve tanjant değerleri doğru işaretlerle bulunur ve ifadede yerine yazılarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sol taraftaki rasyonel ifade payda eşitleme yapılarak sadeleştirilir ve yarım açı formülü uygulanır.
1sin⁡2x+1cos⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2xcos⁡2x=1sin⁡2xcos⁡2x=4sin⁡2(2x)\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{4}{\sin^2(2x)} ifadesi elde edilir.
İfadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözümü kolaylaştırmak.
2
Elde edilen ifade verilen değere eşitlenerek sinüs ve kosinüs değerleri belirlenir.
4sin⁡2(2x)=163  ⟹  sin⁡2(2x)=34\frac{4}{\sin^2(2x)} = \frac{16}{3} \implies \sin^2(2x) = \frac{3}{4} bulunur. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğundan 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olur (3. bölge). 3. bölgede sinüs ve kosinüs negatif olduğundan sin⁡(2x)=−32\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(2x)=−12\cos(2x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Açının bulunduğu bölgeyi dikkate alarak trigonometrik değerlerin işaretlerini doğru tespit etmek.
3
Tanjant yarım açı formülü kullanılarak tanjant değeri hesaplanır.
tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \sqrt{3} olur. Yarım açı formülünden 2tan⁡x1−tan⁡2x=3\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \sqrt{3} elde edilir. Buradan 3tan⁡2x+2tan⁡x−3=0  ⟹  (3tan⁡x−1)(tan⁡x+3)=0\sqrt{3}\tan^2 x + 2\tan x - \sqrt{3} = 0 \implies (\sqrt{3}\tan x - 1)(\tan x + \sqrt{3}) = 0 denkleminden tan⁡x=−3\tan x = -\sqrt{3} seçilir.
Açının 2. bölgede olması nedeniyle tanjant değerinin negatif olması gerekir.
4
Bulunan değerler soruda istenen ifadede yerine yazılır.
tan⁡2x−cos⁡(2x)=(−3)2−(−12)=3+12=72\tan^2 x - \cos(2x) = (-\sqrt{3})^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} olarak bulunur.
Nihai sonucu hesaplamak.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri ve Bölgelere Göre Trigonometrik Değerlerin İşaretleri

Alternative Method

Tanjant yarım açı formülünü cebirsel olarak çözmek yerine, dik üçgen çizilerek 2x açısı yerleştirilir ve hipotenüs kadar uzatılan kenarla x açısına geometrik geçiş yapılarak tanjant değeri bulunabilir. Bölge işareti en son elle eklenir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic