Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡13(x+2x−1)≥−1\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının [−3,5][-3, 5] kapalı aralığındaki değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    2
  2. B
    6
  3. C
    7
  4. 9Answer
  5. E
    12

Answer

9
Eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğundan yön değiştirilerek x+2x−1≤3\frac{x+2}{x-1} \le 3 elde edilir. Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,1)∪[2.5,∞)(-\infty, 1) \cup [2.5, \infty) olur. Logaritmanın tanım kümesi olan (−∞,−2)∪(1,∞)(-\infty, -2) \cup (1, \infty) ile kesişim alındığında genel çözüm kümesi S=(−∞,−2)∪[2.5,∞)S = (-\infty, -2) \cup [2.5, \infty) olarak bulunur. [−3,5][-3, 5] kapalı aralığında bu kümeye ait tam sayılar −3,3,4,5-3, 3, 4, 5 olup toplamları 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tanım kümesini belirlemek.
x+2x−1>0\frac{x + 2}{x - 1} > 0

eşitsizliğinden kökler x=−2x = -2 ve x=1x = 1 olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi D=(−∞,−2)∪(1,∞)D = (-\infty, -2) \cup (1, \infty) elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için içinin daima sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliği çözmek için logaritma tabanını dikkate alarak logaritmayı kaldırmak.
Taban 13\frac{1}{3} (basit kesir) olduğundan logaritma kaldırıldığında eşitsizlik yön değiştirir:
x+2x−1≤(13)−1  ⟹  x+2x−1≤3\frac{x + 2}{x - 1} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \implies \frac{x + 2}{x - 1} \leq 3
Logaritma tabanı 0<a<10 < a < 1 aralığında ise fonksiyon azalandır ve eşitsizliğin yönü tersine döner.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizliği düzenlemek ve çözmek.
x+2x−1−3≤0  ⟹  x+2−3(x−1)x−1≤0  ⟹  5−2xx−1≤0\frac{x + 2}{x - 1} - 3 \leq 0 \implies \frac{x + 2 - 3(x - 1)}{x - 1} \leq 0 \implies \frac{5 - 2x}{x - 1} \leq 0

Eşitsizliğin kökleri x=1x = 1 (payda kökü, açık) ve x=2.5x = 2.5 (pay kökü, kapalı) olur. İşaret tablosu yapıldığında cebirsel çözüm kümesi (−∞,1)∪[2.5,∞)(-\infty, 1) \cup [2.5, \infty) bulunur.
Rasyonel ifadeler içeren eşitsizlikler, tüm terimler tek bir tarafta toplanarak ve işaret tablosu yardımıyla çözülür.
4
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesini kesiştirmek.
Genel çözüm kümesi:
S=((−∞,−2)∪(1,∞))∩((−∞,1)∪[2.5,∞))  ⟹  S=(−∞,−2)∪[2.5,∞)S = ((-\infty, -2) \cup (1, \infty)) \cap ((-\infty, 1) \cup [2.5, \infty)) \implies S = (-\infty, -2) \cup [2.5, \infty) olarak bulunur.
Eşitsizliğini sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmayı da tanımlı kılması gerekir.
5
Çözüm kümesinin [−3,5][-3, 5] kapalı aralığındaki tam sayı elemanlarını belirleyip toplamak.
(−∞,−2)∪[2.5,∞)(-\infty, -2) \cup [2.5, \infty) kümesinin [−3,5][-3, 5] aralığındaki tam sayı elemanları −3,3,4,5-3, 3, 4, 5 sayılarıdır. Bu sayıların toplamı:
(−3)+3+4+5=9(-3) + 3 + 4 + 5 = 9 elde edilir.
Soru kökünde istenen aralıktaki çözüm kümesi elemanlarının toplamı hesaplanır.

Key Concept

Üstel ve logaritmik eşitsizliklerin çözüm kümesi ve tanım kümesi analizi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic