Examkin

Question

Difficulty: MediumKosinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir.

∣AB∣=∣AC∣=7 birim|AB| = |AC| = 7\text{ birim}
∣AD∣=3 birim|AD| = 3\text{ birim}
∣BD∣=5 birim|BD| = 5\text{ birim}

olduğuna göre, ∣CD∣|CD| uzunluğu kaç birimdir?

Answer: 8 birim

Answer

CD uzunluğu 8 birimdir.
Ardışık iki üçgende Kosinüs Teoremi uygulanıp, bütünler açıların kosinüslerinin zıt işaretli olduğu bilgisi doğru bir şekilde kullanıldığında ∣CD∣|CD| uzunluğu 88 birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
ABDABD üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri hesaplanır.
∣AB∣2=∣AD∣2+∣BD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣BD∣⋅cos⁡(ADB^)|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |BD| \cdot \cos(\widehat{ADB})
72=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(ADB^)7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\widehat{ADB})
49=9+25−30cos⁡(ADB^)49 = 9 + 25 - 30 \cos(\widehat{ADB})
15=−30cos⁡(ADB^)  ⟹  cos⁡(ADB^)=−1215 = -30 \cos(\widehat{ADB}) \implies \cos(\widehat{ADB}) = -\frac{1}{2}
ABDABD üçgeninin tüm kenar uzunlukları bilindiği için ADB^\widehat{ADB} açısının kosinüs değeri doğrudan belirlenebilir.
2
BB, DD ve CC noktaları doğrusal olduğundan, bütünler açılar kuralı kullanılarak ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri bulunur.
cos⁡(ADC^)=cos⁡(180∘−ADB^)=−cos⁡(ADB^)=−(−12)=12\cos(\widehat{ADC}) = \cos(180^\circ - \widehat{ADB}) = -\cos(\widehat{ADB}) = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}
ADCADC üçgeninde işlem yapabilmek için bu üçgendeki ADC^\widehat{ADC} açısının kosinüs değeri gereklidir.
3
ADCADC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanarak ∣CD∣=x|CD| = x uzunluğu hesaplanır.
∣AC∣2=∣AD∣2+∣CD∣2−2⋅∣AD∣⋅∣CD∣⋅cos⁡(ADC^)|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\widehat{ADC})
72=32+x2−2⋅3⋅x⋅127^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2}
49=9+x2−3x49 = 9 + x^2 - 3x
x2−3x−40=0x^2 - 3x - 40 = 0
(x−8)(x+5)=0(x - 8)(x + 5) = 0
x=8 veya x=−5x = 8 \text{ veya } x = -5
Uzunluk negatif olamayacağı için x=8x = 8 değeri çözüm olarak kabul edilir.

Key Concept

Bir üçgende kenarlar arasındaki bağıntıyı kurmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Doğrusal bir çizgi üzerindeki komşu iki açının kosinüsleri birbirinin zıt işaretlisidir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kosinüs Teoremi

More questions from this topic