\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x^2 - 9}{8 - x}\right) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 3) \neşitsizliğini sağlayan pozitif x tam sayılarının toplamı kaçtır?

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x^2 - 9}{8 - x}\right) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 3) \neşit… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x^2 - 9}{8 - x}\right) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 3)

eşitsizliğini sağlayan pozitif

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.

Logaritmik eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğu için yön değiştirilir ve en geniş tanım kümesi ile kesiştirildiğinde elde edilen

(3, 5,5]

aralığındaki pozitif tam sayılar 4 ve 5 olup toplamları 9'dur.

Tanım kümelerinin belirlenmesi

T = (3, 8)

Logaritmanın tanımlı olabilmesi için içerisindeki ifadelerin sıfırdan büyük olması gerekir.

\frac{x^2 - 9}{8 - x} > 0

eşitsizliğinden

x \in (-\infty, -3) \cup (3, 8)

x + 3 > 0

eşitsizliğinden

x > -3

elde edilir. Bu iki aralığın kesişimi

(3, 8)

aralığıdır.

Eşitsizliğin çözülmesi

x \in [-3, 5,5] \cup (8, \infty)

Logaritmanın tabanı

\frac{1}{2} < 1

olduğundan, eşitsizlik çözülürken yön değiştirir:

\frac{x^2 - 9}{8 - x} \leq x + 3 \implies \frac{(x+3)(2x-11)}{x-8} \geq 0

elde edilir. Bu ifadenin kökleri

-3

5,5

8

'dir. İşaret tablosundan

[-3, 5,5] \cup (8, \infty)

aralığı bulunur.

Tanım kümesi ile çözüm kümesinin kesiştirilmesi

x \in (3, 5,5]

Elde edilen algebraic çözüm kümesi ile tanım kümesi olan

(3, 8)

aralığının kesişimi

(3, 5,5]

aralığıdır.

Pozitif tam sayıların toplanması

(3, 5,5]

yarı açık aralığındaki pozitif tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu değerlerin toplamı

4 + 5 = 9

olur.

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler