Examkin

Question

Difficulty: HardYarım Açı Formülleri
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=34\frac{\sin(4x) - \sin(2x)}{\cos(4x) - \cos(2x) + 1} = \frac{3}{4}

olduğuna göre, cot⁡x\cot x değeri kaçtır?

Answer: 3

Answer

İfadenin sadeleştirilmesiyle tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. Buradan yarım açı formülü yardımıyla tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} ve dolayısıyla cot⁡x=3\cot x = 3 bulunur.
Verilen ifade trigonometrik yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4} elde edilir. tan⁡(2x)\tan(2x) yarım açı formülüyle açılıp çözüldüğünde tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} bulunur. Buradan cot⁡x=3\cot x = 3 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi yarım açı formülü kullanarak ortak paranteze alma.
sin⁡(4x)−sin⁡(2x)=sin⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\sin(4x) - \sin(2x) = \sin(2x)(2\cos(2x) - 1)
Sadeleştirme yapabilmek için terimleri çarpanlarına ayırmak gerekir.
2
Payda kısmındaki cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini cos⁡(2x)\cos(2x) cinsinden yazarak düzenleme.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+1=cos⁡(2x)(2cos⁡(2x)−1)\cos(4x) - \cos(2x) + 1 = \cos(2x)(2\cos(2x) - 1)
Pay ile benzer terimler oluşturarak sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
3
İfadeyi sadeleştirme ve tan⁡(2x)\tan(2x) değerini belirleme.
tan⁡(2x)=34\tan(2x) = \frac{3}{4}
x∈(0,π/8)x \in (0, \pi/8) aralığında 2cos⁡(2x)−1≠02\cos(2x) - 1 \neq 0 olduğu için sadeleştirme geçerlidir.
4
tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesinin yarım açı formülünü kullanarak tan⁡x\tan x değerini bulma.
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3}
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x=34\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{3}{4} denkleminden pozitif kök seçilir.
5
tan⁡x\tan x değerinden yararlanarak cot⁡x\cot x değerini hesaplama.
cot⁡x=3\cot x = 3
cot⁡x=1tan⁡x\cot x = \frac{1}{\tan x} özdeşliği kullanılır.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic