Sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım, hız ve ivme büy… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım, hız ve ivme büyüklüklerinin zamana göre değişimleri incelenmektedir. Cismin periyodu $T$ , genliği ise $R$ olup cisim $t = 0$ anında denge konumundan $+x$ yönünde geçmektedir.

Buna göre, cismin hareketine ait aşağıdaki oranları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

1 $t_1 = \frac{T}{12}$ anındaki ivmesinin büyüklüğünün maksimum ivmesinin büyüklüğüne oranı ( $\frac{a_1}{a_{max}}$ )
2 $t_2 = \frac{T}{8}$ anındaki hızının büyüklüğünün maksimum hızının büyüklüğüne oranı ( $\frac{v_2}{v_{max}}$ )
3 $t_3 = \frac{T}{6}$ anındaki uzanımının büyüklüğünün genliğine oranı ( $\frac{x_3}{R}$ )

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama I, II ve III şeklindedir (I < II < III).

Oranlar hesaplandığında I. oranın 0,5, II. oranın yaklaşık 0,707 ve III. oranın yaklaşık 0,866 olduğu görülür. Bu değerler küçükten büyüğe sıralandığında I < II < III sırası elde edilir.

Step-by-Step Solution

Cismin hareket denklemlerinin belirlenmesi

t = 0

anında denge konumundan

+x

yönünde geçen cismin uzanım denklemi

x(t) = R \sin(\omega t)

, hız denklemi

v(t) = v_{max} \cos(\omega t)

ve ivme büyüklüğü denklemi

a(t) = a_{max} \sin(\omega t)

olarak yazılır.

Başlangıç koşullarına (

t=0

anında denge konumundan geçiş) göre trigonometrik fonksiyonların seçilmesi gerekir.

I. öncüldeki ivme oranının hesaplanması

t_1 = \frac{T}{12}

anı için faz açısı

\omega t_1 = \frac{2\pi}{T} \frac{T}{12} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ

olur. İvme oranı

\frac{a_1}{a_{max}} = \sin(30^\circ) = 0,5

bulunur.

İvme büyüklüğünün zamana göre değişimi

\sin(\omega t)

fonksiyonu ile belirlenir.

II. öncüldeki hız oranının hesaplanması

t_2 = \frac{T}{8}

anı için faz açısı

\omega t_2 = \frac{2\pi}{T} \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4} = 45^\circ

olur. Hız oranı

\frac{v_2}{v_{max}} = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707

bulunur.

Denge konumundan başlandığı için hız büyüklüğünün zamana göre deği��imi

\cos(\omega t)

fonksiyonu ile belirlenir.

III. öncüldeki uzanım oranının hesaplanması

t_3 = \frac{T}{6}

anı için faz açısı

\omega t_3 = \frac{2\pi}{T} \frac{T}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ

olur. Uzanım oranı

\frac{x_3}{R} = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866

bulunur.

Uzanımın zamana göre değişimi

\sin(\omega t)

fonksiyonu ile belirlenir.

Elde edilen oranların karşılaştırılması

0,5 < 0,707 < 0,866

olduğundan sıralama I < II < III şeklindedir.

Hesaplanan sayısal değerlerin büyüklüklerine göre küçükten büyüğe dizilmesi gerekir.

Key Concept

Basit harmonik harekette uzanım, hız ve ivme büyüklüklerinin trigonometrik zaman fonksiyonları cinsinden ifadesi ve hesaplanması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic