Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff çift fonksiyonu için
∫−24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18
ve
∫12f(2x) dx=4\int_{1}^{2} f(2x) \, dx = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    8
  2. B
    10
  3. C
    11
  4. 13Answer
  5. E
    18

Answer

13
İkinci integralde yapılan değişken değiştirme ile [2,4][2, 4] aralığındaki integral değeri 8 bulunur. İlk integral [−2,2][ -2, 2 ] ve [2,4][ 2, 4 ] olarak parçalandığında, [−2,2][-2, 2] aralığının değeri 10 olur. ff çift fonksiyon olduğundan [0,2][0, 2] aralığının değeri 5 olarak elde edilir. İstenen integral de [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] olarak parçalanıp toplandığında 13 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İkinci integralde u=2xu = 2x değişken değiştirmesi yapılması
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde: x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 elde edilir. Bu durumda ∫24f(u)du2=4  ⟹  ∫24f(x) dx=8\int_{2}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 4 \implies \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8 bulunur.
f(2x)f(2x) ifadesini standart f(x)f(x) formuna getirerek integral aralığını belirlemek.
2
İlk integralin aralık parçalama özelliği kullanılarak bölünmesi
∫−24f(x) dx=∫−22f(x) dx+∫24f(x) dx=18\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 18 olur. Birinci adımda bulunan değer yerine yazıldığında: ∫−22f(x) dx+8=18  ⟹  ∫−22f(x) dx=10\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + 8 = 18 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 10 elde edilir.
Tanımlı [−2,4][ -2, 4 ] integralini bilinen ve simetrik olan alt aralıklara ayırmak.
3
ff fonksiyonunun çift olmasından yararlanılarak simetrik sınır özelliğinin uygulanması
ff çift fonksiyon olduğundan ∫−22f(x) dx=2∫02f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} f(x) \, dx olur. Buradan 2∫02f(x) dx=10  ⟹  ∫02f(x) dx=52 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 5 bulunur.
Simetrik [−2,2][-2, 2] aralığındaki integral değerini [0,2][0, 2] aralığına indirgemek.
4
İstenen integralin parçalanarak hesaplanması
∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx şeklinde parçalanır. Değerler yerine yazıldığında: 5+8=135 + 8 = 13 elde edilir.
Elde edilen [0,2][0, 2] ve [2,4][2, 4] integral değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak.

Key Concept

Belirli integralin değişken değiştirme, aralık parçalama ve simetrik sınırlarda çift fonksiyon integral özellikleri
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic