Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int (3x^2 - 2ax + 5) \, dx\neşitliği verilmektedir. f(1) = 4 ve f(2) = 7 olduğuna göre, a değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x) = \int… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(x) = \int (3x^2 - 2ax + 5) \, dx

eşitliği verilmektedir.

f(1) = 4

f(2) = 7

olduğuna göre,

a

değeri kaçtır?

Doğru cevap 3 olan seçenektir.

Verilen belirsiz integralin kurallara göre integrali alındığında fonksiyon

f(x) = x^3 - ax^2 + 5x + C

biçiminde elde edilir.

f(1) = 4

koşulundan

C - a = -2

f(2) = 7

koşulundan

C - 4a = -11

denklemlerine ulaşılır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

a = 3

değeri elde edilir.

Belirsiz integral alma kurallarını uygulayarak fonksiyonun genel kuralını integral sabiti ile birlikte yazmak.

f(x) = x^3 - ax^2 + 5x + C

Belirsiz integral kurallarına göre

\int 3x^2 \, dx = x^3

\int -2ax \, dx = -ax^2

\int 5 \, dx = 5x

olarak integral dışına çıkar ve ifadeye bir

C

integral sabiti eklenir.

f(1) = 4

sınır koşulunu kullanarak integral sabiti ile bilinmeyen parametre arasındaki ilk ilişkiyi bulmak.

C = a - 2

Fonksiyonda

x = 1

yazıldığında

1^3 - a(1)^2 + 5(1) + C = 4 \implies 6 - a + C = 4

elde edilir ve bu eşitlikten

C

yalnız bırakılır.

f(2) = 7

sınır koşulunu kullanarak ikinci denklemi kurmak ve elde edilen denklem sistemini çözmek.

a = 3

C = 1

Fonksiyonda

x = 2

yaz��ldığında

2^3 - a(2)^2 + 5(2) + C = 7 \implies 18 - 4a + C = 7 \implies C - 4a = -11

elde edilir.

C = a - 2

ifadesi bu denklemde yerine yazıldığında

(a - 2) - 4a = -11 \implies -3a = -9 \implies a = 3

bulunur.

Belirsiz integral kuralları ve integral sabitinin sınır koşullarıyla belirlenmesi

Estimated Time:2m 0s