Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Tanımlı olduğu aralıkta α\alpha ve β\beta gerçel sayıları için,
α−β=3π2\alpha - \beta = \frac{3\pi}{2}
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
sin⁡(3π−α)+cos⁡(β−π)sin⁡(α+π2)−cos⁡(3π2−β)\frac{\sin(3\pi - \alpha) + \cos(\beta - \pi)}{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right)}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    −tan⁡(α)-\tan(\alpha)
  2. B
    cot⁡(α)\cot(\alpha)
  3. tan⁡(α)\tan(\alpha)Answer
  4. D
    −cot⁡(α)-\cot(\alpha)
  5. E
    −1-1

Answer

İfadenin sadeleştirilmiş hali tan⁡(α)\tan(\alpha) olarak bulunur.
İfadenin pay kısmı −2cos⁡(β)-2\cos(\beta), payda kısmı ise 2sin⁡(β)2\sin(\beta) olarak indirgenir. Oranlandığında −cot⁡(β)-\cot(\beta) ifadesi elde edilir. β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2} ilişkisi yerine yazılıp cotangent fonksiyonunun tekliği ve üçüncü bölgedeki indirgeme kuralı uygulandığında sonuç tan⁡(α)\tan(\alpha) olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikten açılar arasındaki geçiş bağıntısını elde etme
α=β+3π2\alpha = \beta + \frac{3\pi}{2} veya β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2}
İfadedeki farklı açılı trigonometrik fonksiyonları tek bir değişken cinsinden yazabilmek için.
2
Pay kısmında yer alan terimleri indirgeme formülleriyle β\beta cinsinden yazma
sin⁡(3π−α)=sin⁡(π−α)=sin⁡(α)=sin⁡(β+3π2)=−cos⁡(β)\sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) = \sin\left(\beta + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(\beta) ve cos⁡(β−π)=cos⁡(π−β)=−cos⁡(β)\cos(\beta - \pi) = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta) olup, Pay = −2cos⁡(β)-2\cos(\beta)
Pay kısmını sadeleştirmek amacıyla esas ölçü ve bölge işaret kurallarını uygulamak için.
3
Payda kısmında yer alan terimleri indirgeme formülleriyle β\beta cinsinden yazma
sin⁡(α+π2)=sin⁡(β+3π2+π2)=sin⁡(β+2π)=sin⁡(β)\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\beta + \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\beta + 2\pi) = \sin(\beta) ve cos⁡(3π2−β)=−sin⁡(β)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \beta\right) = -\sin(\beta) olup, Payda = sin⁡(β)−(−sin⁡(β))=2sin⁡(β)\sin(\beta) - (-\sin(\beta)) = 2\sin(\beta)
Payda kısmını sadeleştirmek amacıyla esas ölçü ve bölge işaret kurallarını uygulamak için.
4
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayıp α\alpha cinsinden karşılığını bulma
Oran: −2cos⁡(β)2sin⁡(β)=−cot⁡(β)\frac{-2\cos(\beta)}{2\sin(\beta)} = -\cot(\beta). β=α−3π2\beta = \alpha - \frac{3\pi}{2} yazılırsa: −cot⁡(α−3π2)=cot⁡(3π2−α)=tan⁡(α)-\cot\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \tan(\alpha)
Sonucu seçeneklerde verilen α\alpha değişkeni türünden ifade etmek için.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin analizi, co-fonksiyon (isim değiştirme) kuralları ve periyodik özellikler kullanılarak indirgenmesi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic