x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere, \sin x - \cos x = \frac{1}{5} olduğuna gö… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

olmak üzere,

\sin x - \cos x = \frac{1}{5}

olduğuna göre,

\sin(2x)

değeri kaçtır?

Answer: 0.96

İfadenin karesi alınarak temel trigonometrik özdeşlikler uygulandığında

\sin(2x)

değeri

0,96

(yani

\frac{24}{25}

) olarak elde edilir.

Verilen denklemde her iki tarafın karesi alındığında elde edilen

\sin^2 x + \cos^2 x

ifadesi 1'e eşittir. Karesel açılımdaki

-2\sin x\cos x

terimi ise

-\sin(2x)

yarım açı formülüne karşılık gelir. Buradan

1 - \sin(2x) = 1/25

denklemi çözülerek

\sin(2x) = 24/25 = 0,96

sonucuna doğrudan ulaşılır.

Eşitliğin her iki tarafının karesini almak

\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}

İfadedeki terimlerin çarpımını ve kareler toplamını ortaya çıkararak bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanabilmek için.

Trigonometrik özdeşlikleri uygulamak

1 - \sin(2x) = \frac{1}{25}

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

temel özdeşliği ile yarım açı formülü olan

2\sin x\cos x = \sin(2x)

eşitliklerini yerine koymak için.

\sin(2x)

değerini yalnız bırakmak

\sin(2x) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} = 0,96

Soruda istenen yarım açı değerini hesaplamak için.

Sinüs fonksiyonunun yarım açı formülü (

\sin(2x) = 2\sin x\cos x

) ve temel trigonometrik özdeşliklerin (

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

) kullanımı.

Question