Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,

cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre,

sin⁡(9π−θ)⋅cos⁡(7π2+θ)−cot⁡(11π2−θ)⋅tan⁡(5π+θ)\sin(9\pi - \theta) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) - \cot\left(\frac{11\pi}{2} - \theta\right) \cdot \tan(5\pi + \theta)

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    −369400-\frac{369}{400}
  2. −81400-\frac{81}{400}Answer
  3. C
    −1325-\frac{13}{25}
  4. D
    81400\frac{81}{400}
  5. E
    369400\frac{369}{400}

Answer

İndirgeme formülleri uygulandıktan sonra elde edilen sin⁡2θ−tan⁡2θ\sin^2\theta - \tan^2\theta ifadesinin sayısal değeri −81400-\frac{81}{400} olur.
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle verilen cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} eşitliği cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ=35\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta = \frac{3}{5} şeklinde indirgenir. Buradan sin⁡θ=−35\sin\theta = -\frac{3}{5} elde edilir. θ\theta açısı üçüncü bölgede olduğundan cos⁡θ=−45\cos\theta = -\frac{4}{5} ve tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4} bulunur. İkinci adımda sorulan ifadedeki terimlerin esas ölçüleri alınarak indirgendiğinde ifade sin⁡2θ−tan⁡2θ\sin^2\theta - \tan^2\theta şeklini alır. Bu ifadede bulunan değerler yerine yazıldığında 925−916=−81400\frac{9}{25} - \frac{9}{16} = -\frac{81}{400} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen cos⁡(θ−3π2)=35\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} eşitliğindeki açıyı indirgeme formülü yard��mıyla sadeleştirmek.
cos⁡(θ−3π2)=cos⁡(3π2−θ)=−sin⁡θ\cos\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta olduğundan −sin⁡θ=35  ⟹  sin⁡θ=−35-\sin\theta = \frac{3}{5} \implies \sin\theta = -\frac{3}{5} bulunur.
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan içindeki ifadenin işareti değiştirilebilir. Üçüncü bölgedeki 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısının kosinüsü −sin⁡θ-\sin\theta değerine eşittir.
2
θ\theta açısının üçüncü bölgede (θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)) yer almasını dikkate alarak cos⁡θ\cos\theta ve tan⁡θ\tan\theta değerlerini bulmak.
cos⁡θ=−1−sin⁡2θ=−1−925=−45\cos\theta = -\sqrt{1 - \sin^2\theta} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5} ve tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−3/5−4/5=34\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} elde edilir.
Üçüncü bölgede kosinüs değeri negatif, tanjant değeri ise pozitiftir.
3
Sorulan ifadedeki dört ayrı trigonometrik terimi indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
sin⁡(9π−θ)=sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(9\pi - \theta) = \sin(\pi - \theta) = \sin\theta
cos⁡(7π2+θ)=cos⁡(3π2+θ)=sin⁡θ\cos\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta
cot⁡(11π2−θ)=cot⁡(3π2−θ)=tan⁡θ\cot\left(\frac{11\pi}{2} - \theta\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta
tan⁡(5π+θ)=tan⁡θ\tan(5\pi + \theta) = \tan\theta
Esas ölçüler alınarak ve bölgelere göre fonksiyonların işaretleri ile isim değişimleri (düşey eksende isim değişir, yatay eksende değişmez) kontrol edilerek terimler indirgenir.
4
İndirgenen terimleri yerlerine yazıp sayısal hesaplamayı tamamlamak.
İfade (sin⁡θ)⋅(sin⁡θ)−(tan⁡θ)⋅(tan⁡θ)=sin⁡2θ−tan⁡2θ(\sin\theta) \cdot (\sin\theta) - (\tan\theta) \cdot (\tan\theta) = \sin^2\theta - \tan^2\theta haline gelir. Değerler yerine yazıldığında:
(−35)2−(34)2=925−916=144−225400=−81400\left(-\frac{3}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{25} - \frac{9}{16} = \frac{144 - 225}{400} = -\frac{81}{400} elde edilir.
Elde edilen temel trigonometrik değerler sadeleştirilmiş cebirsel ifadede yerine konularak rasyonel sayılarda çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Key Concept

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgeme formüllerinde işaret analizi ile isim değiştirme kurallarının doğru uygulanması.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic