Sürtünmesiz ve havasız bir ortamda, L uzunluğunda esnemeyen hafif bir ipin ucuna bağlı m k… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürtünmesiz ve havasız bir ortamda, $L$ uzunluğunda esnemeyen hafif bir ipin ucuna bağlı $m$ kütleli noktasal bir cisim, düşey doğrultuyla $\theta$ ( $\theta < 10^\circ$ ) açısı yapacak şekilde konumlandırılıp serbest bırakılıyor. Cisim basit harmonik hareket yaparken; hareketin periyodu $T$ , cismin y��rüngenin en alt noktasından geçerken sahip olduğu hızın büyüklüğü $v$ ve bu noktadaki merkezcil ivmesinin büyüklüğü $a$ olarak belirleniyor. Sarkaç ipinin boyu $4L$ yapılarak cisim aynı konumdan (düşeyle yine $\theta$ açısı yapacak şekilde) serbest bırakılırsa sarkaç hareketine ait $T$ , $v$ ve $a$ değerleri ilk durumuna göre nasıl değişir?

A
$T$ artar, $v$ değişmez, $a$ azalır
B
$T$ değişmez, $v$ artar, $a$ artar
C
$T$ artar, $v$ artar, $a$ azalır
$T$ artar, $v$ artar, $a$ değişmezAnswer
E
$T$ artar, $v$ artar, $a$ artar

Answer

Periyodun artacağı, hızın artacağı ve merkezcil ivmenin değişmeyeceği seçenektir.

Basit sarkacın periyodu ipin boyunun kareköküyle doğru orantılı olduğundan, boy

4L

yapıldığında periyot

2T

olur ve artar. Enerji korunumuna göre cismin en alt noktadaki hızı

v = \sqrt{2gL(1-\cos\theta)}

şeklindedir; boy

4L

olduğunda hız

2v

olur ve artar. Merkezcil ivme ise

a = v^2/L

olup, hızın karesi ve boy aynı oranda arttığı için değeri değişmez. Bu durumu doğru ifade eden seçenek seçilmelidir.

Step-by-Step Solution

Basit sarkacın periyot formülü yazılarak boy değişiminin etkisi analiz edilir.

Periyot

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

formülü ile hesaplanır. İpin boyu

L

yerine

4L

yapıldığında yeni periyot

T' = 2\pi \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2T

olur. Dolayısıyla periyot artar.

Periyot ipin boyunun kareköküyle doğru orantılıdır.

Enerji korunumu yasası kullanılarak cismin en alt noktadaki hızının boy değişiminden nasıl etkilendiği bulunur.

En alt noktadaki hız

v = \sqrt{2gL(1 - \cos\theta)}

formülüyle bulunur. İp boyu

4L

ve bırakılma açısı

\theta

aynı kaldığında yeni hız

v' = \sqrt{2g(4L)(1 - \cos\theta)} = 2v

olur. Dolayısıyla hız artar.

Cismin kaybettiği potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür ve bırakılma yüksekliği ipin boyu ile doğru orantılıdır.

Merkezcil ivme formülü kullanılarak en alt noktadaki ivmenin değişimi hesaplanır.

En alt noktadaki merkezcil ivme

a = \frac{v^2}{L}

formülüyle bulunur. Değerler yerine yazıldığında

a = \frac{2gL(1 - \cos\theta)}{L} = 2g(1 - \cos\theta)

elde edilir. Yeni durumda

a' = \frac{v'^2}{4L} = \frac{4v^2}{4L} = a

olur. Dolayısıyla ivme değişmez.

Hızın karesindeki artış oranı ile ip boyundaki artış oranı eşit olduğundan merkezcil ivme sabit kalır.

Key Concept

Basit sarkacın periyodu, hızı ve merkezcil ivmesinin sarkaç boyuyla olan ilişkileri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic