Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{2} f(2x-1) \, dx = 5 \int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 8 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{3}^{9} f(x) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{2} f(2x-… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonu için

\int_{1}^{2} f(2x-1) \, dx = 5

\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 8

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{3}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Answer: 6

İstenen integralin değeri 6'dır.

Soruda verilen iki integralde sırasıyla

u = 2x-1

v = x^2

dönüşümleri yapıldığında

f

fonksiyonunun

[1, 3]

[1, 9]

aralıklarındaki belirli integral değerleri sırasıyla 10 ve 16 olarak elde edilir. Ardından, belirli integralin aralık bölme özelliği yardımıyla

\int_{3}^{9} f(x) \, dx = \int_{1}^{9} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx

bağıntısı kurulur. Bu bağıntıdan

16 - 10 = 6

sonucuna ulaşılır.

Birinci integralde

u = 2x-1

değişken değiştirmesi uygulamak.

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10

u = 2x-1

dönüşümüyle sınırlar

x

değişkeninden

u

değişkenine taşınarak

f

fonksiyonunun

[1, 3]

aralığındaki integral değeri hesaplanır.

İkinci integralde

v = x^2

değişken değiştirmesi uygulamak.

\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 16

v = x^2

dönüşümüyle

x\,dx

ifadesi

\frac{dv}{2}

şeklinde yazılır ve sınırlar

[1, 9]

aralığına güncellenerek bu aralıktaki integral değeri bulunur.

Belirli integralin aralık bölme özelliğini uygulamak.

\int_{3}^{9} f(x) \, dx = 6

[1, 9]

aralığındaki integral,

[1, 3]

[3, 9]

alt aralıklarının toplamı olarak yazılabilir. Bu özellik sayesinde bilinen değerler yerine koyularak bilinmeyen integral hesaplanır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integralin aralık bölme özelliği.