Examkin

Question

Difficulty: Very hardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

α∈(π,5π4)\alpha \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,

a=sin⁡(7π−α)a = \sin(7\pi - \alpha)
b=cos⁡(5π−α)b = \cos(5\pi - \alpha)
c=tan⁡(7π2−α)c = \tan \left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)
d=cot⁡(α−13π2)d = \cot\left(\alpha - \frac{13\pi}{2} \right)

ifadelerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1d=cot⁡(α−13π2)d = \cot\left(\alpha - \frac{13\pi}{2}\right)
  2. 2a=sin⁡(7π−α)a = \sin(7\pi - \alpha)
  3. 3b=cos⁡(5π−α)b = \cos(5\pi - \alpha)
  4. 4c=tan⁡(7π2−α)c = \tan\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)

Answer

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama d < a < b < c şeklindedir.
Verilen açının üçüncü bölgedeki konumu dikkate alınarak tüm ifadeler birinci bölgedeki dar açı cinsinden yazıldığında, negatif olanlar kendi aralarında (tanjantın sinüsten büyük olması nedeniyle -tan < -sin), pozitif olanlar kendi aralarında (kosinüsün 1'den küçük, kotanjantın ise 1'den büyük olması nedeniyle cos < cot) sıralanır.

Step-by-Step Solution

1
Açının aralığını belirleme ve kolaylık sağlamak için yardımcı bir dar açı tanımlama.
α=π+θ\alpha = \pi + \theta tanımlanır, burada θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığ��nda bir dar açıdır.
Bölgelere göre indirgeme yaparken dar açılar üzerinden kıyaslama yapmak kolaylık sağlar.
2
Verilen dört trigonometrik ifadeyi indirgeme formülleriyle θ\theta cinsinden yazma.
a=−sin⁡θa = -\sin\theta, b=cos⁡θb = \cos\theta, c=cot⁡θc = \cot\theta, d=−tan⁡θd = -\tan\theta elde edilir.
Her ifadenin esas ölçü ve bölge dönüşümlerini yaparak karşılaştırılabilir ortak bir değişken elde etmek için.
3
Elde edilen ifadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etme.
dd ve aa negatif; bb ve cc pozitif değerlerdir. 0<sin⁡θ<tan⁡θ<10 < \sin\theta < \tan\theta < 1 olduğundan −tan⁡θ<−sin⁡θ-\tan\theta < -\sin\theta, yani d<ad < a olur. Ayrıca cos⁡θ<1<cot⁡θ\cos\theta < 1 < \cot\theta olduğundan b<cb < c olur.
Trigonometrik fonksiyonların birinci bölgedeki büyüklük ilişkilerini kullanarak kesin sıralamayı oluşturmak için.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve dar açı dönüşümleri kullanılarak sıralanması.

Alternative Method

Aralığa uygun olacak şekilde α=210∘\alpha = 210^\circ değeri seçilebilir. Bu durumda a=sin⁡(150∘)=0.5a = \sin(150^\circ) = 0.5 gibi görünse de esas formüllerden indirgeme yapıldığında değerler doğrudan hesaplanıp kıyaslanabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic