Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡0,5(x2−x−2)≥log⁡0,5(x+6)\log_{0,5}(x^2 - x - 2) \geq \log_{0,5}(x + 6) eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 55 tir.

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur; eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamı 5'tir.
Logaritma tabanının 1'den küçük olması nedeniyle eşitsizlik yön değiştirir ve logaritmanın tanım kümesi gereği logaritması alınan ifadeler pozitif olmalıdır. Bu iki koşulun kesişimi alındığında tam sayı çözümlerin toplamı 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin tanım kümesi koşullarını belirleyin.
x2−x−2>0  ⟹  (x−2)(x+1)>0  ⟹  x<−1 veya x>2x^2 - x - 2 > 0 \implies (x - 2)(x + 1) > 0 \implies x < -1 \text{ veya } x > 2 ve x+6>0  ⟹  x>−6x + 6 > 0 \implies x > -6 olur. Bu iki koşulun kesişimi: x∈(−6,−1)∪(2,∞)x \in (-6, -1) \cup (2, \infty) aralığıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Taban özelliğine dikkat ederek eşitsizli��i çözün.
Taban 0,5<10,5 < 1 olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: x2−x−2≤x+6  ⟹  x2−2x−8≤0  ⟹  (x−4)(x+2)≤0x^2 - x - 2 \leq x + 6 \implies x^2 - 2x - 8 \leq 0 \implies (x-4)(x+2) \leq 0 Buradan çözüm aralığı x∈[−2,4]x \in [-2, 4] olarak bulunur.
Logaritma tabanı 00 ile 11 arasında olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır; bu yüzden eşitsizlik karşılaştırılırken yön değiştirir.
3
Tanım kümesi ile eşitsizlik çözüm kümesinin kesişimini bulun.
[−2,4]∩((−6,−1)∪(2,∞))=[−2,−1)∪(2,4][-2, 4] \cap ((-6, -1) \cup (2, \infty)) = [-2, -1) \cup (2, 4] elde edilir.
Bulunan cebirsel çözümlerin logaritma fonksiyonunu tanımsız yapmaması için her iki kümenin kesişimi alınmalıdır.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları belirleyin ve toplayın.
Tam sayılar: −2,3,4-2, 3, 4. Toplamları: −2+3+4=5-2 + 3 + 4 = 5 olur.
Belirlenen çözüm kümesindeki [−2,−1)[-2, -1) aralığından sadece −2-2, (2,4](2, 4] aralığından ise 33 ve 44 tam sayıları gelir.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda yön değiştirme kuralı ve logaritma tanım kümesi sınırları
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic