n \in \mathbb{Z}^+ olmak üzere, \left(2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n ifadesini… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$n \in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere,

\left(2\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^n

ifadesinin $x$ 'in azalan kuvvetlerine göre açılımında baştan 3. terimin katsayısının baştan 4. terimin katsayısına oranı $\frac{3}{2}$ 'dir.

Buna göre, bu açılımdaki sabit terim kaçtır?

Answer: 60

Sabit terim 60 olarak bulunur.

Verilen binomial ifadenin terim katsayıları oranından

n = 6

elde edilir. Bu değer ile sabit terimi veren

r

değeri belirlendiğinde

r = 4

bulunur. Buradan sabit terim

\binom{6}{4} 2^{6-4} = 60

olarak hesaplanır.

Baştan 3. ve 4. terimlerin katsayılarını belirleme

Baştan 3. terim (

r = 2

için):

C_3 = \binom{n}{2} 2^{n-2}

Baştan 4. terim (

r = 3

için):

C_4 = \binom{n}{3} 2^{n-3}

(a+b)^n

açılımında baştan

(r+1)

. terim

\binom{n}{r} a^{n-r} b^r

formülüyle bulunur.

Katsayıların oranından

n

değerini bulma

\frac{C_3}{C_4} = \frac{\binom{n}{2} 2^{n-2}}{\binom{n}{3} 2^{n-3}} = \frac{6}{n-2} = \frac{3}{2} \implies n = 6

Soruda verilen oran kullanılarak açılımın derecesi olan

n

sayısı elde edilir.

Sabit terimi veren

r

değerini belirleme

x^{\frac{6-r}{2} - \frac{r}{4}} = x^0 \implies \frac{12-3r}{4} = 0 \implies r = 4

Sabit terimde

x

değişkeninin üssü 0 olmalıdır.

Sabit terimi hesaplama

\binom{6}{4} 2^{6-4} = 15 \times 4 = 60

n = 6

r = 4

değerleri genel terim formülünde yerine yazılarak katsayı hesaplanır.

Binom Açılımında Katsayı Oranları ve Sabit Terim Hesabı

Question