Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−22f(x) dx=12\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 12
ve her xx gerçel sayısı için
f(x)−f(−x)=8x3−6xf(x) - f(-x) = 8x^3 - 6x
olduğuna göre,
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    6
  2. B
    8
  3. C
    10
  4. 16Answer
  5. E
    20

Answer

İntegralin doğru değeri 16'dır.
Doğru cevap olan 16 değeri, belirli integralin parçalama özelliği ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin (A+B=12A + B = 12 ve B−A=20B - A = 20) doğru bir şekilde çözülmesiyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak sınırları bölelim.
∫−22f(x) dx=∫−20f(x) dx+∫02f(x) dx=12\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 12 denklemi elde edilir.
[−2,2][-2, 2] aralığındaki integrali simetri ekseni olan x=0x = 0 noktasına göre iki alt aralığa ayırmak çözümü kolaylaştırır.
2
Verilen f(x)−f(−x)=8x3−6xf(x) - f(-x) = 8x^3 - 6x eşitliğinin her iki tarafını [0,2][0, 2] aralığında integre edelim.
∫02f(x) dx−∫02f(−x) dx=∫02(8x3−6x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(-x) \, dx = \int_{0}^{2} (8x^3 - 6x) \, dx olur. Sağ tarafın integrali alındığında:
[2x4−3x2]02=(2⋅16−3⋅4)−0=20\left[ 2x^4 - 3x^2 \right]_{0}^{2} = (2 \cdot 16 - 3 \cdot 4) - 0 = 20 bulunur.
Verilen fonksiyonel ilişkiyi belirli integral sınırlarına taşıyarak iki farklı integral terimi arasında bir denklem elde etmek.
3
∫02f(−x) dx\int_{0}^{2} f(-x) \, dx integralinde değişken değiştirme uygulayalım.
u=−xu = -x dönüşümü yapılırsa du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar ise x=0  ⟹  u=0x = 0 \implies u = 0 ve x=2  ⟹  u=−2x = 2 \implies u = -2 olarak güncellenir. Bu durumda:
∫02f(−x) dx=∫0−2f(u)(−du)=∫−20f(u) du=∫−20f(x) dx\int_{0}^{2} f(-x) \, dx = \int_{0}^{-2} f(u) (-du) = \int_{-2}^{0} f(u) \, du = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx elde edilir.
f(−x)f(-x) terimini pozitif değişkenli f(x)f(x) cinsinden yazarak ilk adımda parçaladığımız integrallerle ilişkilendirmek.
4
Bulunan denklemleri bir araya getirerek denklem sistemini çözelim.
∫−20f(x) dx=A\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = A ve ∫02f(x) dx=B\int_{0}^{2} f(x) \, dx = B tanımlayalım. Birinci adımdan A+B=12A + B = 12 ve ikinci adımdan B−A=20B - A = 20 elde edilir. Bu iki denklemi taraf tarafa topladığımızda:
2B=32  ⟹  B=162B = 32 \implies B = 16 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözerek bizden istenen ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx integralinin değerini hesaplamak.

Key Concept

Belirli integralin sınır değiştirme ve parçalama özellikleri ile değişken değiştirme yöntemi.
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic