x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere, \sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \s… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)

olmak üzere,

\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}

olduğuna göre,

\cos(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

İfade sadeleştirilip yarım açı formülleri uygulandığında aranan değer 1/2 olarak bulunur.

İki kare farkı özdeşliği yardımıyla verilen denklem düzenlendiğinde

\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{4}

elde edilir ve buradan

\sin(2x) = \frac{1}{2}

bulunur. Kosinüsün yarım açı formülü olan

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)

uygulandığında aranan sonuç 1/2 olarak hesaplanır.

Sol taraftaki ifadeye iki kare farkı özdeşliğini ve sinüs toplam-fark formüllerini uygulayalım.

\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + x\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8} - x\right) = \sin(2x) \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)

İki kare farkı açılımı ile terimlerin toplamı ve farkı çarpılarak ifade sadeleştirilir.

Sadeleşen ifadeyi eşitliğin sağ tarafına eşitleyerek

\sin(2x)

değerini çekelim.

\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{4} \implies \sin(2x) = \frac{1}{2}

Kosinüs çift kat açı formülüne geçiş yapabilmek için sinüs değeri bulunur.

Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak

\cos(4x)

ifadesini hesaplayalım.

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}

\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta

özdeşliği yardımıyla doğrudan sonuca ulaşılır.

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formülleri

Terimlerin kareleri toplam-fark formülleri ile ayrı ayrı açılıp farkları alındıktan sonra da sadeleştirme yapılarak çözüme ulaşılabilir.

Estimated Time:2m 0s

Question