Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
Tanım kümesindeki her xx gerçel sayısı için sürekli olan bir ff fonksiyonu,
f(x)+f(8−x)=(x−4)2+mf(x) + f(8-x) = (x-4)^2 + m
eşitliğini sağlamaktadır.
∫17f(x) dx=24\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 24
olduğuna göre, mm sabit sayısı kaçtır?
  1. A
    -59
  2. B
    -3
  3. C
    1
  4. 5Answer
  5. E
    30

Answer

İntegral özellikleri ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulandığında, aranan sabit sayı 5 olarak bulunur.
Verilen integral eşitliğinde her iki tarafın integrali alınıp sol tarafta değişken değiştirme (u=8−xu=8-x) yapıldığında sol kısım iki adet aynı integralin toplamına, yani 48'e eşit olur. Sağ taraftaki integraller hesaplandığında ise 18+6m18 + 6m elde edilir. Bu iki ifadenin eşitliğinden aranan sabit sayı 5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının 1'den 7'ye belirli integrali alınır.
∫17[f(x)+f(8−x)] dx=∫17[(x−4)2+m] dx\int_{1}^{7} [f(x) + f(8-x)] \, dx = \int_{1}^{7} \left[ (x-4)^2 + m \right] \, dx integralin lineerlik özelliği kullanılarak ∫17f(x) dx+∫17f(8−x) dx=∫17(x−4)2 dx+∫17m dx\int_{1}^{7} f(x) \, dx + \int_{1}^{7} f(8-x) \, dx = \int_{1}^{7} (x-4)^2 \, dx + \int_{1}^{7} m \, dx şeklinde yazılır.
Eşitliğin her iki yanındaki fonksiyonların aynı sınırlar altındaki integral değerleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Sol taraftaki ikinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
u=8−x  ⟹  du=−dxu = 8-x \implies du = -dx dönüşümü yapılır. Sınırlar: x=1  ⟹  u=7x = 1 \implies u = 7 ve x=7  ⟹  u=1x = 7 \implies u = 1 olur. Buradan, ∫17f(8−x) dx=∫71f(u) (−du)=∫17f(u) du=∫17f(x) dx\int_{1}^{7} f(8-x) \, dx = \int_{7}^{1} f(u) \, (-du) = \int_{1}^{7} f(u) \, du = \int_{1}^{7} f(x) \, dx elde edilir. Dolayısıyla sol taraf 2∫17f(x) dx=2×24=482 \int_{1}^{7} f(x) \, dx = 2 \times 24 = 48 olur.
Belirli integralde sınırların yer değiştirmesi integralin işaretini değiştirir ve bu sayede sol taraf bilinen integral türünden ifade edilir.
3
Sağ taraftaki integral terimleri ayrı ayrı hesaplanır.
∫17(x−4)2 dx\int_{1}^{7} (x-4)^2 \, dx integrali için t=x−4  ⟹  dt=dxt = x-4 \implies dt = dx dönüşümü yapılırsa sınırlar t=−3t = -3 ve t=3t = 3 olur. Buradan, ∫−33t2 dt=[t33]−33=9−(−9)=18\int_{-3}^{3} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-3}^{3} = 9 - (-9) = 18 bulunur. Sabit sayının integrali ise ∫17m dx=m⋅(7−1)=6m\int_{1}^{7} m \, dx = m \cdot (7 - 1) = 6m olur.
Sağ taraftaki fonksiyonların integralleri standart yöntemlerle ve sınır değerleri yerine yazılarak hesaplanır.
4
Elde edilen sonuçlar ana denklemde yerine yazılarak m sabit sayısı çözülür.
48=18+6m  ⟹  6m=30  ⟹  m=548 = 18 + 6m \implies 6m = 30 \implies m = 5
Sol ve sağ taraftan elde edilen sayısal ifadeler birbirine eşitlenerek bilinmeyen sabit değer yalnız bırakılır.

Key Concept

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Sınırların Güncellenmesi

Alternative Method

İntegrali doğrudan simetri ekseni olan x=4x=4 noktasına göre kaydırarak da çözebiliriz. u=x−4u = x-4 dönüşümü yapıldığında integral sınırları [−3,3][-3, 3] aralığına taşınır. Bu durumda f(u+4)+f(4−u)=u2+mf(u+4) + f(4-u) = u^2 + m elde edilir. Bu eşitliği [−3,3][-3, 3] aralığında entegre ettiğimizde, tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla doğrudan çözüme ulaşabiliriz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic