Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,

1−sin⁡(2x)+cos⁡x=45\sqrt{1 - \sin(2x)} + \cos x = \frac{4}{5}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) değeri kaçtır?

  1. 2425\frac{24}{25}Answer
  2. B
    −2425-\frac{24}{25}
  3. C
    1225\frac{12}{25}
  4. D
    −925-\frac{9}{25}
  5. E
    725\frac{7}{25}

Answer

sin⁡(2x)=2425\sin(2x) = \frac{24}{25}
Verilen x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olduğu için 1−sin⁡(2x)\sqrt{1 - \sin(2x)} ifadesi sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olarak dışarı çıkar. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında −cos⁡x-\cos x ile +cos⁡x+\cos x birbirini götürür ve sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} elde edilir. Birinci bölgede sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} ise cos⁡x=35\cos x = \frac{3}{5} olur. Buradan yarım açı formülüyle sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x=2⋅45⋅35=2425\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Karekök içindeki ifadeyi yarım açı formülü yardımıyla tam kare şeklinde yazma
1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 özdeşliği elde edilir.
Karekök dışına çıkarabilmek için ifadenin tam kare biçimine getirilmesi gerekir.
2
İfadeyi karekök dışına çıkarma ve açı aralığına göre işaret analizi yapma
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olduğundan, (sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olarak çıkar.
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadeler mutlak değerli yazılmalı ve açının bulunduğu bölgedeki büyüklük ilişkisine göre mutlak değerden çıkarılmalıdır.
3
Elde edilen ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarak sin⁡x\sin x değerini bulma
(sin⁡x−cos⁡x)+cos⁡x=45  ⟹  sin⁡x=45(\sin x - \cos x) + \cos x = \frac{4}{5} \implies \sin x = \frac{4}{5} bulunur.
Denklemin sadeleşmesi sonucunda doğrudan sinüs fonksiyonunun değeri elde edilir.
4
Kosinüs değerini hesaplama ve sinüs yarım açı formülünü uygulama
Birinci bölgede cos⁡x=1−sin⁡2x=1−1625=35\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5} olur. Buradan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x=2⋅45⋅35=2425\sin(2x) = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25} elde edilir.
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerine ulaşmak için sinüsün iki kat açı formülü kullanılır.

Key Concept

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin sadeleştirilmesi ve değer hesabı
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic