\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 2}{\log_2(9 - x) - 2} \geq 0 \neşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı kaçtır?

\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 2}{\log_2(9 - x) - 2} \geq 0 \neşitsizliğini sağlayan tü… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 2}{\log_2(9 - x) - 2} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 28

Answer

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 28'dir.

Eşitsizliğin çözümü için logaritma tanım kuralları gereği

2 < x < 9

olmalıdır. Payın kökü

x = 6

ve paydanın kökü

x = 5

'tir. İşaret tablosu yapıldığında

2 < x < 5

6 \leq x < 9

aralıklarında eşitsizlik sağlanır. Bu aralıklardaki tam sayılar

3, 4, 6, 7, 8

olup toplamları 28'dir.

Step-by-Step Solution

Tanım kümesini belirlemek

2 < x < 9

Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için logaritması alınan ifadelerin sıfırdan büyük olması gerekir.

Pay kısmının kökünü ve işaretini bulmak

Kök

x = 6

x < 6

için pozitif,

x > 6

için negatif

Payı sıfır yapan değeri bulup, taban

0

ile

1

arasında olduğu için azalanlık özelliğine göre işaretini belirleriz.

Payda kısmının kökünü ve işaretini bulmak

Kök

x = 5

x < 5

için pozitif,

x > 5

için negatif

Paydayı sıfır yapan değeri bulup, taban

1

'den büyük olduğu için artanlık/azalanlık durumuna göre işaretini belirleriz.

İşaret tablosunu oluşturmak ve çözüm kümesini yazmak

Çözüm Kümesi =

(2, 5) \cup [6, 9)

Pay ve paydanın işaretlerinin bölümünün pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri tanım kümesi sınırları içinde belirleriz.

Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplamak

3 + 4 + 6 + 7 + 8 = 28

Eşitsizliği sağlayan tüm tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşırız.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesi sınırlarının çözüm kümesine etkisi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic