Examkin

Question

Difficulty: HardBelirli İntegral ve Özellikleri
Tanım kümesi gerçel sayılar olan sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2
olduğuna göre,
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Answer: 10

Answer

İstenen integral işleminin sonucu 10'dur.
Verilen fonksiyonel denklemden fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır. Bu periyot özelliği kullanılarak sınırları daha büyük olan integral terimleri [0,4][0, 4] periyot aralığı cinsinden parçalanır ve ortak [1,2][1, 2] aralığı sadeleştirilerek sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun periyodiklik özelliğinin belirlenmesi
f(x)=f(x+4)f(x) = f(x+4) eşitliği elde edilerek fonksiyonun periyodunun 4 olduğu saptanır.
İntegral sınırlarını kaydırabilmek ve periyot özelliğini kullanabilmek için.
2
Periyot aralığındaki integral değerinin hesaplanması
[0,4][0, 4] aralığındaki integral değeri 12 olarak bulunur.
Eşitliğin her iki yanının [0,2][0, 2] aralığında entegre edilmesi ve değişken değiştirme uygulanması ile tam bir periyottaki integral değerine ulaşmak amacıyla.
3
İstenen integral ifadesinin parçalanması
∫06f(x) dx−∫13f(x) dx=12+∫02f(x) dx−∫13f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 12 + \int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesi elde edilir.
Sınırları [0,4][0, 4] periyot uzunluğuna göre sadeleştirmek için.
4
Fark integralinin ortak aralıklar kullanılarak basitleştirilmesi
∫02f(x) dx−∫13f(x) dx=∫01f(x) dx−∫23f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{2}^{3} f(x) \, dx olduğu görülür.
[1,2][1, 2] aralığındaki ortak integral değerlerinin sadeleşmesini sağlamak için.
5
Kayıp aralıktaki integral değerinin bulunması
∫23f(x) dx=4\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4 olarak hesaplanır.
f(x)+f(x+2)=6f(x) + f(x+2) = 6 eşitliği [0,1][0, 1] aralığında entegre edilip verilen ∫01f(x) dx=2\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 değeri kullanılarak.
6
Nihai sonucun elde edilmesi
İşlemin sonucu 12+(2−4)=1012 + (2 - 4) = 10 olarak bulunur.
Bulunan tüm değerlerin sadeleştirilmiş ana ifadede yerine konulması amacıyla.

Key Concept

Belirli integralde sınır kaydırma, periyodik fonksiyonların integrali ve değişken değiştirme özellikleri.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic