Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡13(2x−1x+3)≥0\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2x - 1}{x + 3}\right) \geq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    7
  2. B
    6
  3. C
    -3
  4. 10Answer
  5. E
    9

Answer

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 10'dur.
Doğru yanıt 10'dur. Logaritma tabanı basit kesir olduğu için logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirerek rasyonel eşitsizliğe dönüşür. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi ile logaritmanın tanım kümesinin kesişiminden elde edilen yarım açık aralıktaki tam sayıların (1, 2, 3, 4) toplamı 10'dur.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek için logaritmanın içinin sıfırdan büyük olması koşulu uygulanır.
2x−1x+3>0\frac{2x - 1}{x + 3} > 0 eşitsizliğinin kökleri x=12x = \frac{1}{2} ve x=−3x = -3 olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi x∈(−∞,−3)∪(12,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (\frac{1}{2}, \infty) olarak elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Eşitsizliğin çözümü için logaritma tabanı göz önüne alınarak logaritma kaldırılır. Taban 13\frac{1}{3} (0 ile 1 arasında) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir.
2x−1x+3≤(13)0  ⟹  2x−1x+3≤1\frac{2x - 1}{x + 3} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^0 \implies \frac{2x - 1}{x + 3} \leq 1 eşitsizliği elde edilir.
Logaritmanın tabanı basit kesir olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır; bu yüzden logaritma kaldırılırken eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizlik çözülür.
2x−1x+3−1≤0  ⟹  x−4x+3≤0\frac{2x - 1}{x + 3} - 1 \leq 0 \implies \frac{x - 4}{x + 3} \leq 0 eşitsizliğinin kökleri x=4x = 4 ve x=−3x = -3 olarak bulunur. İşaret tablosu yapıldığında çözüm kümesi (−3,4](-3, 4] olarak elde edilir.
Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılır ve köklerin işaret tablosu oluşturulur.
4
Tanım kümesi ile eşitsizliğin çözüm kümesinin kesişimi alınarak en geniş çözüm kümesi bulunur.
((−3,4])∩((−∞,−3)∪(12,∞))=(12,4]((-3, 4]) \cap ((-\infty, -3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)) = (\frac{1}{2}, 4] aralığı en geniş çözüm kümesidir.
Bulunan çözümlerin logaritma fonksiyonunu tanımsız yapmaması için tanım kümesi ile kesişiminin alınması zorunludur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.
(12,4](\frac{1}{2}, 4] aralığındaki tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44'tür. Bu tam sayıların toplamı ise 1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10 olarak bulunur.
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını istemektedir.

Key Concept

Logaritma tabanının basit kesir olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve logaritmanın tanım kümesi sınırlandırılmasının eşitsizlik çözümüyle kesiştirilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic